9.1 Einleitung

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9.1 Einleitung

Technische Anwendungen
Koaxialkabel
Hohlraum-Resonatoren
Mikrowellen-Antennen

Die Idealisierung ist, daß wir einen idealen Leiter als Begrenzung haben.

Randbedingungen:
- -Feld: $E_ L Oberfl¨ache$
  Der Aufbau der Oberflächenladung sei „instantan“.
  
  Die Oberflächenladung kompensiert das elektrische Feld im Innern des Leiters.
- -Feld:
  Wir betrachten ein zeitlich schnell veränderliches Magnetfeld. Dieses wird durch Induktionsströme abgeschirmt (keine Dämpfung).
  
  Außerhalb, aber nahe an einem idealen Leiter, gilt:
  $E ||n und B _L n$
  steht also senkrecht zu Oberfläche, während parallel zu dieser steht.
Wellengleichungen:
Wir betrachten die Wellenausbreitung in einem Hohlleiter, dessen Querschnitt beliebig aber konstant sein soll. Der Symmetrieachse durch den Hohlleiter liege dabei in z-Richtung. Der zu verwendende Ansatz lautet:
$B(x, t) = B(x)exp(- iwt)$

$E(x, t) = E(x)exp(- iwt)$
Leiten wir diese beiden Gleichungen nach t ab, so ergibt sich ein Faktor -i. Die Maxwellgleichungen in Vakuum ( = j = 0) lauten:
$\~/ × E = iwB; \~/ B = 0$

$iw \~/ × B = --c2E; \~/ E = 0$
Damit gilt:
$( ) \~/ × \~/ × E = iw \~/ × B$

$( ) w2 - /_\ E + \~/ . \~/ =-c2 E =0|$

$(------2)---------| |/ _\ + w- E(x) = 0| ------c2-----------$
Analog gilt:
$(------2)---------| |/ _\ + w- B(x) = 0| ------c2-----------$
Vor einigen Wochen hatten wir:
$( ) ( w2) E = E0exp ikx ==> -k2 + c2- E0 = 0$

Ansatz:Wellenausbreitung in z-Richtung
$E(x) = E(x,y)exp(ikz)$

$B(x) = B(x,y)exp(ikz)$
k ist zunächst unbekannt (eventuell komplex). Wir definieren nun einen transversalen Laplace-Operator:
$2 2 2 \~/ 2T =_ -@-+ -@- =_ /_\ --@ @x2 @y2 @z2$
Die Wellengleichung geht wegen der speziellen z-Abhängigkeit über in:
$( ) E(x,y) \ ~/ 2 + w2-- k2 { } = 0 T c2 B(x,y)$
Wir haben somit sechs Gleichungen für die Komponenten von und . Unser Ziel ist es, eine Gleichung für E_z (oder B_z) zu erhalten und die restlichen fünf Komponenten durch Differentiation aus E_z (oder B_z) zu bekommen. Dazu zerlegen wir und in Anteile senkrecht und parallel zu _z.
$E = E_ L + Ez$

$( ) ( ) 0 Ez = ez . E .ez = 0 Ez$

$(E ) E = E x t 0y$
Nach Umrechnung der Maxwell-Gleichungen (Jackson, Greiner (Seiten 374/375, 2 Seiten)) folgt:
$[ ( ) ] B_ L = (-2-1-)- \~/ T@zBz + iw ez× \~/ T Ez (**) wc2- k2 c2$

$----1----[ ( ) ] E _L = (w22 - k2) \~/ T @zEz- iw ez × \~/ T Bz (***) c$
Vorsicht ist geboten, denn aufgrund der Randbedingungen gilt:
$|-------| | 2 w2-| -k-/=-c2--$

Randbedingungen:
$E_ L auf Leiteroberfl¨ache$

$Ez | = 0 Oberfl¨ache$

ist parallel zur Leiteroberfläche.
$|| || B .n| O = 0 ==> BT .n|O = 0$
Aus _O = 0 und (**) folgt:
$@Bz|| @n-|| = 0 O$

Beweis:
Wir multiplizieren Gleichung (**) mit . Dann folgt mit ^._z = 0: $( ( )) ( ) n. ez × \~/ T = n . ez× \ ~/ - ezez \~/ =0$

$( ) ( ) n. ez× \~/ T = n. ez × \~/ = -ez .n× \~/$
$( ) | n × \~/ Ez||$ _O enthält nur die Ableitung in Richtung der Oberfläche:
$E | = 0 zO$
Damit folgt:
$( ) n× \~/ Ez = 0$
Und somit gilt:
$| || 1 || nBT |O = -w2--k2 .n . \~/ @zBz || c2 O$

$@zBz = ikBz$

$| || /\ @Bz-|| 0 = n\ ~/ Bz|O = @n |O = 0$
Das Ziel ist nun, die Abhängigkeit von E_z und B_z aus den zweidimensionalen partiellen Differentialgleichungen (*) und den Randbedingungen B und E aus (**) und (* * *) zu bestimmen.

9.1.1 Klassifikation der Lösungen

Wir unterscheiden folgende Arten von Lösungen:

Transversal magnetische Lösungen (TM): $Bz(x,y) =_ 0$

$E (x,y) /= 0 z$
Das ändert nichts daran, daß die Randbedingungen erfüllt sein müssen:
$Ez |O = 0$
Transversal elektrische Lösungen (TE): $Ez(x,y) =_ 0$

$Bz(x,y) /= 0$

$|| @Bz|| = 0 @n O$
Transversale elektrische und magnetische Lösungen (TEM): $Ez(x,y) =_ 0 und Bz(x,y) =_ 0$
Schaut man die obigen Gleichungen (**) und (* * *) an, so müßte man vermuten, daß alle Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes gleich Null sind. Dies ist aber nicht so, da nun folgendes gilt:
$w2 2 c2-- k = 0$
Die Beziehungen (**) und (* * *) gelten somit nicht mehr. Die Ausbreitung findet mit Lichtgeschwindigkeit statt, als ob keine Randbedingungen bestehen würden. Damit werden wir uns später genauer auseinandersetzen.

9.1.2 Diskussion der transversal magnetischen Lösungen

Bz(x,y) =_ 0

Es gilt nun:

( ) B = (---1---)iw e × \~/ E T wc22- k2 c2 z T z

ET = (-2-1---) \~/ T@zEz = (-21---) \~/ T (ikEz) wc2 - k2 wc2-- k2

Aus der zweiten Gleichung folgt dann:

( 2 ) wc2-- k2 \~/ T Ez =----ik----ET

Somit lösen wir nach _T und _T auf und erhalten:

|---------------| |BT = -w-ez× ET | ------kc2--------

|-------------------| |ET = ---1---ik \~/ T Ez| | w2c2 - k2 | --------------------

Für E_z gilt die zweidimensionale Differentialgleichung.

( ) 2 w2- 2 \ ~/ T + c2 - k Ez(x,y) = 0

Die Randbedingung lautet:

Ez(x,y)| O = 0

Alle Felder ergeben sich aus einer Funktion E_z(x,y). Analog gilt für die transversal elektrischen Lösungen:

ET = -w-ez× BT k

ik BT = (w2----2) \~/ T Bz c2 -k

( 2 ) || \ ~/ 2T + w-- k2 Bz(x,y) = 0 und @Bz|| = 0 c2 @n O

Entscheidend ist nun folgende Wellengleichung:

|(-----(--2-----))(---)-------------------------------------| | \~/ 2 + w--- k2 Bz = 0 (mit den richtigen Randbedingungen) ----T----c2---------Ez--------------------------------------|

Es handelt sich dabei um eine partielle Differentialgleichung 2.Ordnung für den transversal elektrischen und den transversal magnetischen Fall. Wir setzen nun folgendes fest:

w2 -2- k2 = g2 c

Spezialfall:

Wir betrachten einen rechteckigen Leiter:

Wir untersuchen nun den transversal elektrischen Fall:

( ) -@2- -@2 2 @x2 + @y2 + g Bz(x,y) = 0

| @Bz-|| = 0 f¨ur x = 0,a und y = 0,b @n |O

Wir nehmen folgenden Ansatz zur Lösung der Differentialgleichung:

|-----------(-----)---(----)-| Bmnz = B0cos mpx- cos npy- | ---------------a---------b----

Dieser Ansatz erfüllt die Randbedingungen. Wir setzen den Ansatz in die Differentialgleichung ein, womit sich dann ergibt:

|[(---)2---(---)2]--------| | mp- + np- - g2 = 0| ----a--------b------------|

Wir lösen nach k auf:

V~ -------[------------]- w2- 2 (m-)2 (n)2 k = ± c2 - p a + b

V~ ------------- (m )2 (n )2 wmin = cp a- + b-

Für < _min wird k imaginär.

B_z fällt infolgedessen exponentiell ab. Der Zusammenhang zwischen dem Wellenvektor k und definiert hierbei die Phasengeschwindigkeit:

|--------------------------| w- |-----------w----------- | k = vph =| V~ 2 2 2[(m)2 (n )2].c | | w - p c a- + -b | ---------------------------

Der Nenner ist größer als 1. Die Phasengeschwindigkeit ist somit größer als die Lichtgeschwindigkeit. Von Bedeutung ist aber die Gruppengeschwindigkeit: