3.4 Gravitation in Massenverteilungen

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3.4 Gravitation in Massenverteilungen

Bis jetzt: Annahme, daß Massen punktförmig sind

m außerhalb Massenverteilung einer Kugelschale M

$dV = 2pR sin h.d.R dh$

$dM = r .dV$

$Gm dM Gm cosf dF = ---2---.cosf = ----2---.r.2p .R .sinh .Rdh .d x x$

$2 2 2 r- R cosh Mit x = R +r -2Rr cosh (Kosinussatz), 2xdx = 2R.r.sinhdh und cosf =----r----$

$p .G .d.r.R .m (r2 - R2 ) dF = -------r2------ --x2---+ 1 dx$

$r integral +R M-m- F = dF = G r2 r-R$

Ruhemasse außerhalb einer Kugelschale M $dV = 2pR sin h.d.R dh$

$dM = dV .r$
Die horizontale Komponente von d lautet:
$Gm--.dM- Gm--.cosf dFx = x2 .cosf = x2 .r.2pR sinh .d.R dh$
- cos =
- x² = (R sin)² + (r - cos ^. R)² = R² + r² - 2rR cos $2 2 2 ==> R .cosh = R-+-r---x-- 2r$
Und weiterhin gilt:
$d(x2) dx --dh- = 2xdh-= 2rRsinh$

$x .dx ==> sinhdh = -r.R-$

$R2+r2-x2 2 2 2 cosf = r-----2r----= r---R--+-x- x 2rx$

$dF = Gm--.r2--R2-+x2-.r.2pR2 .d .xdx- x2 2rx r.R$

$( ) p.G-.d.r-.m-.R-r2--R2-+-x2 p-.G-.d.r-.m--.R r2--R2- dF = r2 . x2 dx = ------r2------ x2 + 1 dx f$

$F( integral r+R) r integral +R ( 2 2 ) [ 2 2 ]r+R F = dF = dx .f r---R--+ 1 = f . - r---R-+ x = f .4R = x2 x r-R F(r- R) r-R = 4.p.G-.d-.r.m-.R2-= G mM-- r2 r2$ (3.1)
$|-----mM---| F = G --2- | -------r----$

$2 Da VKugelschale = 4pR .d$

$MKugelschale = 4pR2 .d.r$
Masse m innerhalb Kugelschale

$R integral +r R integral +r( 2 2 ) F = dF = 0, da r--2R--+ 1 dx = 0 R -r R- r x$
Masse innerhalb Vollkugel

$G .m .4pr3 .r F = G-.m-.2mr- = ------32------= G .m .4p .r.r r r 3$

$oo integral Potential: Mit Ep(r) = - F(r')dr' r$
Bewegung innerhalb Kugel
- Außen: $GM m v2 -r2--= m -r (F = m .a)$
  Damit gilt:
  $V~ GM-- 1 v = ---- ~ V~ - r r$
- Innen: $V~ ----- V~ ---4--3--- v = Gmr--= G-.3pr-.r-~ r r r$
Das beobachten wir im Sonnensystem, nicht aber in Galaxien oder Galaxienhaufen.

Die nicht sichtbare Masse ist 10 bis 100 Mal größer als die Masse aller Sterne innerhalb der Galaxie.

Unser heutiges Wissen:

Das Universum ist vor 12 bis 15 Milliarden Jahren in einem Urknall entstanden ( Big Bang).

Beobachtungen:

Die Galaxien entfernen sich voneinander (HUBBLE 1930). Je größer ihre Entfernung ist, desto größer ist ihre Fluchtgeschwindigkeit .
Kosmische Hintergrundstrahlung (PENZIAS, WILSON 1956)
2,7K Temperaturstrahlung Lichtblitz des Urknalls
Primordiale Häufigkeit der Elemente
75% H, 24% He, <1% Li, ... Elementsynthese in den ersten drei Minuten

Wir leben in einem expandierenden Universum.

Wir sehen hier das HUBBLE-Diagramm. Die korrigierte scheinbare Helligkeit ist proportional zum Logarithmus des Strahlungsstroms. Die gerade Linie zeigt die theoretische Beziehung für q₀ = 1.
Im folgenden sehen wir einige Nebelhaufen mit ihrem Spektrum, aus dessen Rotverschiebung man die Fluchtgeschwindigkeit bestimmen kann:

	43 Mill.	1200
Virgo
	560 Mill.	14800
Ursa Major
	728 Mill.	21500
Corona Borealis
	1,29 Mrd.	40000
Bootes
	1,96 Mrd.	60000
Hydra

Im folgenden sehen wir sechs verschiedene Spiralsysteme. Beim Typ S0 ist die Spiralstruktur kaum noch ausgeprägt. Typ Sa zeigt sie deutlicher. Beim Übergangstyp Sab wie bei Sb sind die Spiralen gut sichtbar. Beim Typ Sc tritt der Kern deutlich gegenüber den Spiralarmen zurück. (Hale Observatories)


NGC 1201	Typ: S0	NGC 2841	Typ: Sb

NGC 2811	Typ: Sa	NGC 3031 M81	Typ: Sb

NGC 488	Typ: Sab	NGC 628 M74	Typ: Sc

Im folgenden sind es sechs Sternensysteme, die alle dem Typus der Balkenspirale zugerechnet werden. Beim Typ SB0 sind die beiden Balkenarme nur angedeutet. Die weitere Bildfolge ist so geordnet, daß der Balken immer deutlicher ausgeprägt, der Kern dagegen immer schwächer wird. (Hale Observatories)


NGC 2859	Typ: SB0	NGC 2523	Typ: SBb(r)


NGC 175	Typ: SBab(s)	NGC 1073	Typ: SBc(sr)


NGC 1300	Typ: SBb(s)	NGC 2525	Typ: SBc(s)

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