5.1 Physik fester Krper

5.1 Physik fester Körper

Form von Materie, in der interatomare Kräfte zur dreidimensionalen stabilen Anordnung von Atomen führen.


Kristalle	Regelmäßige Anordnung
Amorphe Festkörper	unregelmäßige Anordnung

Kräfte führen zu elastischer Deformation (bei großen Kräften irrelevant)
Wärme manifestiert sich in Atomschwingungen: Je wärmer, desto größer sind die Amplituden.

5.1.1 Elastische Verformung

Hookesches Gesetz

$DL F 1 -L-= A-.E-$
E bezeichnet man als Elastizitätsmodul (englisch: YOUNG’s-Modulus).
$[E] =-N- oder -kN-- m2 mm2$

Beispiel: Stahlzylinder

Mit L = 2m, = 2cm, E = 2,5 ^. 10¹¹ und M = 9,5t berechnen wir:
$m- F-= E .DL- ==> DL = L-.F-= --2m-.9500-kg.9,81s2-- ~~ 2,8mm A L E .A 2,5 .1011 Nm2 .p .10-4m2$
Speziell für Gummi gilt:
$E = 7.106 N2- m$

$DL = 101m !$
Gummi zerreißt allerdings vorher.
Demonstration: Bestimmung von E für Cu:

$L = 45cm$

$M = 100g, 200g, etc.$

$E .DL- = F- L A$

$-L- F- 45cm- -----10-N------ 22,5-.10.108-N- 9-N- ==> E = DL .A = 2cm .p.(1,5.10-4m)2 = p .2,25 m2 ~~ 3.10 m2$

Reißfestigkeit:
$( ) F- DL- A := E . L c -------- Er$
L ist die Verlängerung vor dem Zerreißen.
$|------------|--[--]---|--[--]----| |------------|E--Nm2----|Er-mN2-----| |Stahl |2,5.1011 |4- 30.108 | |Glas |7.1010 |3- 20.107 | |Spinnenseide | |2,4 .108 | |Sehne | |108 | -Gummi------------------107--------$

Beispiel: Unser Stahlbolzen:
$M = Er .A-= 3.109mN2-.p-.10--4m2- ~~ 95000kg max g 9,81 ms2$
Für Gummi gilt M_max = 320kg.
Volumenänderung bei Zug

$w'= w - Dw$

$h'= h - Dh$

$L'= L + DL$
Es gilt mit der sogenannten POISSONzahl 0,3:
$Dh-= Dw--= -m DL- h w L$

$V '= V + DV$

$( )( )( ) DV-= (w-+-Dw)-.(h-+Dh)-.(L-+-DL)-- 1 = 1+ Dw-- 1+ Dh- 1+ DL- -1 = V w .h .L w h L ( DL )2( DL ) DL = 1- m L-- 1+ -L- - 1 ~~ (1 -2m) .-L$ (5.1)

Beispiel: Eisenbolzen:
$DV-- DL- 2,8mm-- V = (1 - 0,6) . L = 0,4 . 2m ~~ 0,6$
Kompression im Dreidimensionalen

$DV--= - 3.(1- 2m)-p mit k =---E----- (Kompressionsmodul) V E 3(1 -2m)$
Scherung

$F- = G .DL-= G .tana ~~ G .a (Schermodul oder Schubmodul) A L$
Es gibt dabei folgende Zusammenhänge:
$G = ---E---, K = ---E---- 2(1+ m) 3(1 - 2m)$

Anwendung: Biegung

Wir errechnen das Drehmoment um P:
$DM = DF .x$
Mit = E ^. und = , wobei R der Krümmungsradius ist, erhalten wir:
$2 DM = E .DA .x-.x = E .DA .x- R R$
Durch Integration folgt dann schließlich:
$integral integral h2 M = dM = E-. x2dA R h -2-- --- Fl¨achen- tmr¨aogmheeintstB-$
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächenträgheitsmomentes lautet:
$|---- integral integral -------| |B = x2dydx | ----------------|$
Als Beispiel betrachten wir uns:
- Fall 1:
  
  Allgemein gilt:
  $|-------3-----| |s = -L----.F | -----3E-.B----|$
  Damit erhalten wir für diesen Fall:
  $3 s = 4--L---.F Eh3 .b$
- Fall 2:
  
  Hier gilt:
  $--L3---- s = 48 .E .B .F$
Scherung
Wir beschäftigen uns mit folgenden Beispielen:
Rechteckiger Stab:

$h h integral 2 integral 2 ||h2 3 I = x2 dA = x2 .bdx = 1bx3|| = h-.b- - h - h 3 -h2 12 2 2$

Zylinder und Rohr:
- Zylinder:
  
  $p IZylinder = 4R4$
- Rohr:
  
  $IRohr = p(R4 - r4) 4$
Doppel-T-Träger:

$-1 ( 3 3) I = 12 BH - bh$
Vergleichen wir die Biegung eines Zylinders bzw. Rohres gleicher Fläche mit R - r = 0,2R, welche an einer Seite eingespannt sind:
$IRohr = 4,6.IZylinder$
Torsion
Eine Verdrehung entspricht einer Scherung der einzelnen Elemente.

$DF-- r- DA = G .a = G .L .h$
Des weiteren gilt:
$R .h -L--= tan a ~~ a$
Für die Zylinderhülse erhalten wir nun:
$dF = G .r .h.2prdr l -dA-$

$r dM = G .l .h.2prdr .r$
Für das Drehmoment des gesamten Zylinders gilt:
$integral integral R 4 M = dM = 2p-.G-.h r3dr = p-.G-.h .R4 = R--.p-.G .h L 0 2 L L-- 2-- Dr$
Allgemein gilt:
$M = Dr .h$
D_r nennt man entweder Richtmoment oder auch Torsionsmodul.
Fälle:
- M₂ = 16 ^. M₁, wenn R₂ = 2 ^. R₁
- M₂ = M₁, wenn L₂ = 2 ^. L₁
Um bestimmten Winkel zu erhalten!
Bestimmung des Richtmomentes (Torsionsmoduls):

Auch hier berechnen wir das Drehmoment:
$M = D .h = J .h¨$
J ist das Massenträgheitsmoment, welches wir schon kennen. Es gilt beispielsweise J_Hantel = 2mR². Die Lösung der obigen Differentialgleichung finden wir mit dem Ansatz:
$h(t) = h .cos(wt+ f) 0$

$V~ --- ==> w = D- J$

$==> D = 4p2J T2$

5.1.2 Härte eines Festkörpers

Man beschreibt die Härte eines Feststoffes durch die Härteskala nach Moks:


Eichsubstanz	Mokshärte


Talk	1
Gips	2
Kalkspat	3
Flußspalt	4
Apatit	5
Feldspat	6
Quarz	7
Topas	8
Korund	9
Diamant	10

Weitere Beispiele sind:


Eichsubstanz	Mokshärte


Aluminium	2,3 - 2,9
Eisen	3,5 - 4,5
Stahl	7
Graphit	1 - 2
Glas	6 - 6,5
Rubin, Smaragd, Saphir	9

5.1.3 Thermische Eigenschaften von Festkörpern

Thermische Expansion

Es ergibt sich folgende Längenänderung:
$DL-= a .DT L$

$a /\ = linearer Ausdehnungskoeffizient$

Beispiele:
$----------------------------------[-]-- -Material----Ausdehnungskoeffizient a-1K--- -Aluminium--24-.10--6------------------- Stahl 10 .10- 6 Quarz 0,4.10-6 Glas 9 .10- 6 ---------------------------------------$

Beispiel: Wärmeausdehnung einer 600 m langen Stahlbrücke Winter/Sommer

$o o T1 = - 40 C, T2 = +40 C$

$DT = T2- T1 = 80 K$

$-5 1 aStahl = 10 K$

$-5 1 DL = L .a .DT = 600 m .10 K .80 K = 48 cm (!)$
Die Brücke wird auf beiden Seiten um 24 cm länger.
Technische Lösung: Schwelle:

Anwendung: Bimetallstreifen

Der Bimetallstreifen wird unter anderem verwendet für:
- Temperaturmessung
- Thermostaten
Volumenänderung:

$D (L3) 2 DV--= ---3-- = 3L-D3L- = 3DL- = 3.a .DT V L L L$
- Wärmeleitung
  
  Material homogen, keine seitlichen Wärmeverluste
  $dQ-= - c.A .dT- dt dx$
  
  $dQ /\ dt-= transportierte Wa¨rmemenge$
  
  $c /\ = thermische Leitf¨ahigkeit$
  
  $dT --- /\ = Temperaturgef¨alle dx$
  
  Beispiele:
  $-----------------------------------[W--]- -Material----Thermische Leitf¨ahigkeit c-mK-- Silber 420 Aluminium 220 Gestein 2,5 Wasser 0,6 -Luft-------0,026------------------------$
  
  Beispiel: Wärmefluß durch Erdkruste
  
  $dQ dt-= 0,054W$
  Für T₁ = 10^oC wollen wir T₂ berechnen:
  $dQ- DT- dt = -c .A .Dx$
  
  $dQ ==> DT = Dx-.-dt-= 713oC c .A$
  
  $==> T2 = 723oC$
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