5.2 Mechanik von Flssigkeiten

5.2 Mechanik von Flüssigkeiten

5.2.1 Hydrostatik

Dichtgepackte Systeme ohne starre Anordnung der Atome. Näherung: inkompressibel, kein Widerstand gegen Scherkräfte

Charakteristische Größen:

Dichte

M-- r = V

Os	Osmium	23 = 23 ^. 10³

Pt	Platin	21

Au	Gold	19

Hg	Quecksilber	13,6

Pb	Blei	11

	Olivenöl	0,9

	Wasser	1,0

	Quarz	2,5

	Neutronenstern, Kernmaterie	~ 10¹⁷

	Luft	1,3 ^. 10^-3

	Bestes Vakuum	10^-17

Die Erde hat im Mittel eine Dichte von 5,5.

Druck $P = F, wobei F _L A A$

$[P ] = 1Pa = 1Pascal =_ 1 N m2$
Auch 1atm = 1,01 ^. 10⁵ Pa $/\ =$ 760 Torr (760 mm Hg)

5.2.2 Hydrostatischer Druck durch Gravitation

F (y) = P(y).A

F(y+ Dy) = P(y + Dy).A

V wird nicht beschleunigt, daher ist die Summe aller Kräfte gleich Null:

sum Fi = 0 : i

P(y).A + M .g -P (y+ Dy) .A = 0

Somit gilt:

A .P(y + Dy)- A .P(y) = A.DP = r.g .A.Dy

Dy '--> 0,DP '--> 0 :

dP- dy = r .g

Wenn man dies integriert, folgt:

|---------------------------------| -P(y) =-P0 +-r.g-.y (PASCALs-Gesetz)

Beispiel: Wasserdruck in 60 m Tiefe

5-N- 3-kg m- P (y0) = P0 + rH2O .g.y0 = 1,01.10 m2 + 10 m3 .9,81 s2 .60m ~~ 6,9bar

Anwendungen:

Barometer

$y = h : P(h) = P0 = rHg .g .h$
Damit gilt für die Höhe:
$-P0--- ---1,01.105-Nm2---- h = rHg .g = 13,6 .103 kg3 .9,81 m2 = 760mm (0,76m) m s$
Auftrieb
Schwimmende oder getauchte Objekte verdrängen Flüssigkeitsvolumen mit ihrem eigenen Volumen. Wenn V _Objekt ^. _Objekt < V _Flüssigkeit ^. _Flüssigkeit, dann schwimmt der Körper. Andernfalls sinkt er.

$F = P .A + r .g.A .y auf 0 Fl$

$Fab = P0 .A + M .g = P0 .A + r .g.h.A$

$Fauf- Fab = DF = A .g.(rFly - rFl .h)$
- Falls _Fl ^. V _Fl = ^. V ist, gilt F = 0 und damit schwimmt der Körper.
- Falls _FlV _Fl > ^. V treibt er auf.
- Falls _FlV _Fl < ^. V sinkt er.
Hydrostatischer Körper/Hydraulische Presse

$F F P1 = -1-= --2= P2 (P1 = P2) A1 A2$
Wir vernachlässigen den Gravitationsdruck:
$|-----------| | A2-| |F2 = F1 .A1| -------------$
Vorschobenes Volumen ist gleich:
$V1 = h1 .A1 = h2 .A2 = V2$

$|-----------| |h2 = h1 .A1| ---------A2-|$

Beispiel:
- Welche Masse M kann mit der Kraft F₁ angehoben werden? $A1 = 1cm2, A2 = 100 cm2, F1 = 100N$
  
  $F2- P2-.A2 P1-.A2 F1- A2- -100N- ==> M = g = g = g = g .A1 = 9,81 ms2 .100 = 1020kg$
- Wie hoch wird M gehoben? $h1 = 30cm$
  
  $A1- h2 = h1 .A2 = 0,3cm$
  Will man höher heben, muß man pumpen.
Bestimmung der Dichte von Objekten (Archimedes, Goldkrone)

$F2 = M .g- Fauf = 50N$

$F1 = M .g = 45N$
Daraus ergibt sich dann nach weiterer Rechnung:
$Fauf = M .g- F2 != rFl .g.V$

$|--------------| |V = M--.g--F2 = 510 cm3 -------rFl .g--|$
Damit ergibt sich dann die Dichte der Krone:
$M rFlg 4 kg rKrone = V-= M .M-g--F2-= 10.rFl = 10 m3$
Es handelt sich also nur um golden angemaltes Blei!

Experiment: Dichte eines Steins

F = M .g = 1,04N 1

F2 = M .g - Fauf = M .g - rFl .g .V = 0,64 N

Damit ergibt sich dann das Volumen des Steins:

M--.g---F2 --0,4 kgsm2-- -4 3 3 V = rFl .g = 103 kg3 .10 m2 = 0,4 .10 m = 40cm m s

Damit folgt für die Dichte:

M 1,04 kgs2m - 3 kg r = V--= 10-m2-.4.10-5m3-= 2,5 .10 m3- s

5.2.3 Hydrodynamik

Jede organisierte Bewegung von nicht-festen Multiteilchensystemen wird Fließen genannt und durch die Hydrodynamik beschrieben.

Ideale Strömungen:

Flüssigkeit inkompressibel
keine Viskosität
Keine Turbulenz (d.h. nur laminare Strömungen)
=const.

d1 = v1 .Dt, d2 = v2 .Dt

Das Volumen in t ist konstant. Das heißt:

V1 = A1d1 = A1v1Dt = A2d2 = A2v2Dt = V2 = const.

Fluß:

f = A1v1 = A2v2 = const.

==> f = A .v = const. (Kontinuit¨atsgleichung)

Die BERNOULLI-Gleichung:

Bewegte Flüssigkeit ist Ansammlung von sich bewegenden Massenpunkten. Damit gelten NEWTONs Gesetze.

Der Druck leistet Arbeit:

W =_ Arbeit =_ Kraft× Weg

W1 = P1 .A1 .v1 .dt

W2 = -P2 .A2 .v2 .dt

W = W1 +W2 = (P1 - P2).v .A dt f=const.

DEp = m .g.Dh = r.v.A .dt.g.(h2- h1) ---m ---

DEk = 1 m (v2 - v2)= 1r .v.A .dt(v2- v2) 2 2 1 2 2 1

W = DEp + DEk

==> (P - P ).v .A.dt = r.v.A .dt.g .(h - h )+ 1.r .v.A .dt.(v2- v2) 1 2 2 1 2 2 1

==> P1 + 1rv21 +rgh1 = P2 + 1rv22 + rgh2 = const. 2 2

1 2 ==> P + 2rv + rgh = const. (BERNOULLIs Gleichung, 1783)

Spezialfälle:

Flüssigkeit in Ruhe: v = 0

$P + r.g.h = const. (PASCALs Gesetz)$
Flüssigkeit fließt horizontal (g=0)

$( ) P = P + 1.r .(v2- v2)= P + 1.r .v2 1 - A21- 2 1 2 1 2 1 2 1 A22$
Für A₁ > A₂ folgt P₂ < P₁.
Beispiel:
Es sei P₁ = 2bar, A₁ = 1m², v₁ = 1 und A₂ = 0,1m². Damit folgt: $v2 = v1A1-= 10 m A2 s$

$P2 = 1,5 bar$

Anwendung: Strömungsmeßinstrument

$Messung von Dp,A ,A : 1 2$

$-------------- 2DP f = A1 .v1 = A1 . V~ -((--)2---) r AA12 - 1$

Beispiel:
Wir betrachten ein zylindrisches Faß mit Loch im Boden (Durchmesser=1 cm).

Hierbei gilt, wenn wir v₁ 0 setzen:
$P1 = P2 + 1rv2(h = 0) - grh 2 2$