5.3 Wellenausbreitung in der Mechanik

5.3.1 Schwingungen (Wiederholung)

Federschwingungen
- Ungedämpft
  
  $F = -k .x = m d2x ----- --dt2 Differentialgleichungen$
  Wir verwenden folgenden Ansatz:
  $x(t) = A .cos(wt+ f)$
  Durch Einsetzen folgt:
  $-k .A cos(wt+ f) = - m .Aw2 .cos(wt +f)$
  Dies gilt zu allen Zeiten t.
  $-mw2 = -k$
  
  $V~ --- -k ==> w = m$
  
  $( V~ --- ) k- ==> x(t) = A . cos m t+ f$
  Aus der Randbedingung x(t = 0) = A folgt = 0.
  
  Schauen wir uns die Energiebilanz an:
  $( ) V~ --- 1 2 1 dx- 2 1 k- 2 2 k- Ek = 2mv = 2 m dt = 2m m A sin m t$
  
  $--- integral x 1 1 V~ k Ep = kx'dx'= 2kx2 = 2kA2 cos2 m-t 0$
  
  $Etot = Ek + Ep = 1kA2 2$
- Gedämpfte Schwingung
  
  $-kx - b.dx-= m d2x- dt dt2$
  Wir haben folgenden Ansatz:
  $x(t) = x0 .e-ctcoswt$
  Die Phase wird weggelassen. Eingesetzt in Differentialgleichung ergibt:
  $- kx e-ctcoswt+ bc.x e-ctcoswt+ bwx e-ctsin wt = 0 0 0 = m .c2x0e-ctcoswt+ c .w.m .x0e-ctsin wt+ c .w.m .x0e-ctsin wt- w2 .m .x0 .e-ctcoswt$ (5.2)
  Somit folgt: $x0e-ctsinwt (bw - 2cwm) = x0e-ctcoswt(mc2 - mw2 + k -bc)$
  Dies gilt für alle t! Damit haben wir:
  $|-----b-| b.w = 2c.w .m ==> |c = ---| -----2m--$
  
  $|---- V~ ---------| 2 2 | k- -b2- | mc -mw + k- bc = 0 ==>-w-=---m---4m2--|$
  Die Lösung lautet:
  $|------------------------------| | (V ~ ------2- ) | x(t) = x0e-2bmtcos k-- -b--t | --------------------m---4m2-----$
  x(t) hängt stark ab von:
  $<| kx|> Mittlere-R¨uckstellkraft <| b˙x|> = Mittlere Reibungskraft$
  
  Diskussion:
  - Keine Dämpfung: b = 0
    Hierbei erhalten wir eine einfache Kosinusfunktion:
    $V~ --- x(t) = x0cos -kt m$
  - Dämpfung schwach: b <
    Die Schwingung wird durch eine exponentiell gedämpfte Kosinusfunktion beschrieben:
  - Grenzfall: b =
    Mit = 0 und cost = 1 ergibt sich eine Exponentialfunktion:
    $|-----------b-| -x(t)-=-x0e-2mt-|$
  - Überdämpfung: b >
    Die Kreisfrequenz ist imaginär! Der Kosinusansatz zur Lösung der Differentialgleichung ist ungültig!
    
    $m- Lebensdauer: t = b$
  Gedämpfte Federschwingung:
  
  Die Physik steckt in der Kraftgleichung:
  $-kx - bdx= m d2x- dt dt2$
  
  $==> Die L¨osung dieser Differentialgleichung gibt die Bewegungsgleichung:$
  
  $( ) ---------- -b- k- -b2- x(t) = x0exp - 2m t .cos V~ m -4m2 t w2 0$
  
  Physikalische Größen:
  - Lebensdauer: $t = 2m- b$
    Dies entspricht der Abklingzeit, bei der die Amplitude auf x₀ abgefallen ist.
  - Qualitätsfaktor: $Q = w .t$
    Es handelt sich um die Anzahl der Oszillationen (in rad) während der Abklingzeit.
    Beispiele:
    - Stimmgabel: Q 10⁴
    - Federpendel: Q 10 - 20
    Für die gesamte Energie gilt:
    $1 1 ( t) m Etot = 2mv2 + 2kx2 = E0 .exp - t- mit tE = b- E$
    Die Energie ist somit keine Erhaltungsgröße! Sie wird umgewandelt durch Reibung in Wärme, Wirbel.
  Beispiel:
  
  Es sei = 5s und T = 5ms. Damit folgt:
  $Q = 2p-.t = --2p----.5s =|6280| T 5.10-3s ------$
- Erzwungene Schwingungen:
  
  Wir betrachten ein periodisch angeregtes oszillierendes System mit Dämpfung. Die zugehörige Kraftgleichung lautet:
  $dx d2x -kx - b---+ F0coswt = m---- dt dt$
  Umgeformt ergibt sich:
  $( ) V~ --- ¨x+ 2g˙x +w2 x = F0-coswt mit g = b- = 1- und w0 = k- ----- ----0 m 2m t m DiffeHroenmtoiaglgenleeichung$
  Wir verwenden folgenden Lösungsansatz:
  $- gt x(t) = x1e---.cos(w1t+-f1)+ x2cos(wt-+-f2) L¨osung der homogenen spezielle L¨osung Differentialgleichung nach t» t$
  Wir beschränken uns auf eine spezielle Lösung nach t » . Der Ansatz lautet:
  $x(t) = x2 .cos(wt+ f2)$
  Damit folgt das Ergebnis:
  - x₂ =
    Die Amplitude ist somit frequenzabhängig! Die Herleitung findet man beispielsweise im Demtröder 11.5
  - tan₂ = -
    Phasenverschiebung: Schwingung der Masse hinkt der Erregerschwingung hinterher.
  Diskussion: Amplitude
  
  Der Wert der Amplitude wird theoretisch nur für = 0 erreicht.
  - Für = 0 haben wir keine Dämpfung.
  - Resonanzkurve = 0,1 (schwache Dämpfung)
  - = 1 (starke Dämpfung)
  Die Halbwertsbreite beträgt 2 ^. und das Full Width Half Maximum (FWHM) beträgt . Für 0 (d.h. b0) gilt x₂, 0.
Pendelschwingungen
- Mathematisches Pendel
  
  $d2h - mgsinh = m .a = m .l-dt$
  Diese Differentialgleichung ist nicht algebraisch lösbar! Wir verwenden deshalb folgende Näherung:
  $sinh = h- h3+ h5- ... ~~ h f¨ur h « p- 3! 5! 2$
  Damit erhalten wir folgende Differentialgleichung:
  $2 dh2-+ gh = 0 dt l$
  Folgender Ansatz ist sinnvoll:
  $h(t) = h0 coswt$
  Damit erhalten wir:
  $V~ -- V ~ -- ( ) w = g /\ = T = 2p l _L F l g$
  Betrachten wir außerdem folgenden Spezialfall. Für = 1s gilt:
  $4s2 m l = --2 .9,81 2- ~~ 1m 4p s$
  Dies ist das sogenannte Sekundenpendel.
  5.3.2 Vergleich zwischen Pendel- und Federschwingung
  
  Behauptung:
  
  Pendel, dessen Länge gleich Ausdehnung einer Feder durch ein Gewicht ist, hat die gleiche Frequenz wie die Feder.
  
  Beweis:
  Die Federdehnung ist gegeben durch: $l m m .g = k .l ==> g = k$
  
  $V~ -k- V~ g ==> wF = m- = l = wP$
- Physikalisches Pendel
  
  Es ergibt sich folgendes Drehmoment:
  $M = r× m .g = J .a$
  
  $d2h d2h m-.g.r- - r.m .g .sinh = J . dt2 <==> dt2 = J h = 0$
  Auch hier benutzen wir die Näherung sin . Somit gilt für die Lösung:
  $V~ m-.g.r h(t) = h0cos --J---t$
  
  Beispiele:
  - Masse konzentriert im Massenmittelpunkt:
    
    $==> J = mr2$
    
    $V~ -m-.g.r V~ -g /\ w = -------= - (= mathematisches Pendel) J r$
  - Pendel ist dünner Stab
    
    $r =-l 2$
    
    $J = 1ml2 = 4 mr2 3 3$
    
    $V~ m-.g-.r V~ 3-g- V~ 3-g- w = -------= - .- = - .- J 4 r 2 l$
Gekoppelte Schwingungen
- Einfachster Fall: Gekoppeltes Federpendel
  
  $m1x¨1 = -k1x1- k12(x1- x2)$
  
  $m2x¨2 = -k2x2- k12(x2- x1)$
  Es handelt sich um ein System aus gekoppelten Differentialgleichungen. Wir betrachten hierzu folgenden Spezialfall:
  $m1 = m2 =_ m$
  
  $k1 = k2 =_ k$
  Damit folgt:
  $mx¨1 = - kx1- k12(x1- x2)$
  
  $mx¨2 = - kx2- k12(x2- x1)$
  Durch Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Differentialgleichungen ergibt sich nun folgendes System:
  $m (x¨ + ¨x )= -k (x + x ) -1---2 1 2 2¨XM$
  
  $m (¨x1--¨x2)= -k (x1- x2)- 2k12(x1 - x2) ¨ 2XD$
  - Mittlere Auslenkung: $1 XM = 2 (x1 + x2)$
  - Differenz: $XD = 1 (x1- x2) 2$
  Damit erhalten wir also zwei Differentialgleichungen, die voneinander unabhängig sind:
  $mXM¨ = -kXM$
  
  $mXD¨ = -kXD - 2k12XD$
  Hierbei folgt nun die Lösung:
  $|----------------------------- V~ --| | k | |XM = A1 cos(w1t+ f1) mit w1 = m-| -----------------------------------$
  
  $|---------------------------- V~ --------| X = A cos(w t+ f ) mit w = k+-2k12 | --D----2-----2----2------2-------m------$
Beispiele:
- Massen schwingen in Phase:
  
  $------------------------------------------------------------------ | V~ ---| |XM = x1(t) = x2(t) = A1 cos(w1t +f1) (= A2 cos(w1t+ f2)) mit w1 = -k | ---------------------------------------------------------------m--|$
- Massen schwingen gegenläufig:
  
  $XM = 0$
  Damit haben wir:
  $|--------------------------------------------------------------- V~ -------| |x (t) = -x (t) = X (t) = A cos(w t+ f ) = -A cos(w t+ f ) mit w = k+-k12| --1-------2------D-------1-----2----1------2-----2----2------2-------m----$
  
  Demonstration:
  $V~ g w1 = l$
  
  $V~ -g-2k-- w2 = -+ --12 l m$
- Massen sind außer Phase (A₁ = A₂ A)
  $x1(t) = XM-+-XD-=-A-[cos(w1t+-f1)+-cos(w2t+-f2)] =--------| | (w1 - w2 f1- f2) (w1 + w2 f1 + f2)| = |2A cos ---2---t+ ---2--- .cos --2---t+ --2---- | ---------------------------------------------------$ (5.3)
  
  $x2(t) = XM - XD = A [cos(w1t+ f1)- cos(w2t+ f2)] = |-------(-----------------)----(-----------------)-| = |-2A sin w1---w2t+ f1--f2- .sin w1 +-w2t + f1 +-f2| ------------2---------2------------2---------2------$ (5.4)
  Wir erhalten für die Periode einer Schwebung: $|-----------| | 2p | |T = w---w--| ------2---1--$

LISSAJOUS-Figuren:

Diese entstehen bei Überlagerung harmonischer Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzverhältnis, die senkrecht zueinander stehen.

x = x0sin(wt)

y = y0 sin(wt+ f) = y0 sin(wt)cosf + y0cos(wt)sinf

V~ ----(--)-- x- -x 2 sin(wt) = x0 und cos(wt) = 1 - x0

Durch Einsetzen in obige Gleichung folgt:

V~ ---------- x ( x )2 y = y0 .x0 .cosf + y0 . 1- x0 .sinf

Durch Umformen ergibt sich:

V~ ---------- y x ( x)2 --- -- cos f = 1 - -- sin f y0 x0 x0

Quadriert man diese Gleichung, so erhält man die allgemeine Ellipsengleichung:

|(--)2---(---)2-------------------| | -y + x- - 2xy-cosf = sin2f | | y0 x0 x0y0 | ----------------------------------

Für = 0 erhält man eine Gerade:

y = y0 x x0

Für = resultiert eine Ellipse:

( )2 ( )2 y- + -x = 1 y0 x0

Allgemein ergeben sich für ganzzahlige Frequenzverhältnisse geschlossene Raumkurven, die von der Phasenlage unabhängig sind.

5.3.3 Wellen

Allgemeines:

Wellen sind Erscheinungen der Natur, welche gekoppelte oszillierende Systeme darstellen.

Transversale Wellen
Vertikalschwingungen aller Punkte längs der Welle, Beispiel: Wasserwellen
Longitudinale Wellen
Horizontalschwingungen aller Punkte, Beispiel: Schallwellen
Eindimensionale Wellen (Feder, Saite, ...)
Zweidimensionale Wellen (Wasserwellen, vibrierende Platte, ...)
Dreidimensionale Wellen (elektromagnetische Wellen, Schall, ...)
Stehende Wellen

Beispiel: Saite
Alle Punkte bewegen sich in Phase.
Laufende Welle

Die Auslenkung verschiebt sich.

Die Wellengleichung:
Wir wollen die Wellengleichung mit Hilfe der Saitenschwingung herleiten:

$Fz(x) = F .sinh ~~ F .tan h = F .dz dx$

$( ) Fz(x+ Dx) = F .sin(h + Dh) ~~ F . dz-+ Ddz- dx dx$

$dz- d2z- fz(x + Dx)- Fz(x) = F .D dx = Dm dt2$

$2 2 Dx '--> 0 : F .@-z-= dm-@-z @ /\ = partielle Ableitung @x2 dx @t2$
Mit der linearen Massendiche = ergibt sich die Wellengleichung:
$|@2z---m--@2z-| |--2-= --.--2 | -@x----F--@t---$

Dies ist eine partielle Differentialgleichung.
Lösung:
Es wird folgender Ansatz verwendet: $z(x,t) = z0sin(kx+ d)cos(wt + f)$
Damit ist:
$@z @x-= k .z0cos(kx + d).cos(wt+ f)$

$@2z ---2 = - k2 .z0sin(kx + d).cos(wt+ f) = -k2z(x,t) @x$

$@z-= -wz0 sin(kx+ d)sin(wt + f) @t$

$2 @-z = - w2z0sin(kx+ d)cos(wt+ f) = - w2z(x,t) @t2$
Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man:
$2 m- 2 - k z(x,t) = - F w z(x,t)$
Somit folgt:
$V~ -- V~ -- F- 2p- F- w = k . m = c m$
- Hier bekommen wir einen Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge.
- Je größer die Saitenspannung ist, desto größer ist .
- Je größer die Saitenmasse (Massendichte) , desto kleiner ist .
Die allgemeine Wellengleichung lautet:
$|------------| -@2z-= 1-@2z | @x2----v2@t2--$
Stehende Wellen:
Jeder Punkt oszilliert um die x-Achse mit gleicher Frequenz.

$z(x,t) = f(x) . g(t) | | Amplitude h¨aZneigtaigbk-eit$
- Sonderfall: Harmonischer Oszillator $f(x) = z0sin(k .x + d)$
  
  $f (t) = cos(wt+ f)$
  
  $w /\ = Frequenz der Oszillation: w = 2p T$
  
  $2p k /\ = Wellenzahl: k =-- c$
  
  $/\ c = Wellenl¨ange.$
- Schwingungsmoden:
  - n = 1 : = 2 ^. L
  - n = 2 : = L
  - n = 3 : = L
- Höhere Moden: $V~ --- cn = 2L, daher: wn = n-.p F- n L m$

Laufende Wellen:

Wellenform bewegt sich mit Geschwindigkeit v und transportiert Energie, auch wenn die oszillierenden Körper am selben Ort bleiben.

z(x,t) = f (x - v.t)

Jede laufende Welle wird durch f(x - vt) beschrieben, f genügt der Wellengleichung.

z(x,t) = z(x0,0) = z0 = f(x0) = f(x -vt)

Spezieller Fall: Harmonische laufende Welle

Wir verwenden folgenden Ansatz:

z(x,t) = z0sin k(x- vt) = z0sin(kx- k.vt) = z0sin(kx- wt), da w = 2p-= 2p.v = k.v T c

P oszilliert mit der Frequenz . Damit ist folgender Ansatz sinnvoll:

z(x,t) = z0sin(kx- wt)

Durch Einsetzen in die Wellengleichung kann man den Ansatz verifizieren.

Behauptung:

Jede Funktion f(

^u)) genügt der Wellengleichung.

Beweis:

2 2 @-z-= +k2d-f @x2 du2

@2z 2 2d2f- 2@2z- @t2 = k v du2 = u @x2

Mit u = kx - kvt und der Kettenregel resultiert:

@f(u(x))- df- du- @x = du .dx

Zusammenfassung zu Wellen:

Laufende Wellen: Form, die sich mit Geschwindigkeit v fortbewegt

Eindimensional: A(x,t) = A₀f(kx - t) = A₀f
v ist die Phasengeschwindigkeit.
Zweidimensional, Dreidimensional: (,t) = ₀ ^. f( - t)

Stehende Wellen: Form, bei der Knoten und Bäuche an gleicher Stelle bleiben

Eindimensional: A(x,t) = A₀f(x)g(t)
Zweidimensional, Dreidimensional: (,t) = ₀f()g(t)

(,t) genügt der Wellengleichung:

Eindimensional: $@2A 1 @2A --2-= -2 --2- @x v @t$
Zweidimensional, Dreidimensional: $1 @2A @2 @2 ( @2 ) /_\ A = -2--2- mit /_\ =_ --2 +--2 + --2 v @t @x @y @z$
$/_\$ bezeichnet man als Laplace-Operator.

Energie und Intensität von Wellen:
Betrachten wir zur Herleitung wieder die Saite:

Für die kinetische Energie erhält man mit der Linienmassendichte :
$1 1 (@z )2 DEk = -Dmv2z = -m .Dx . --- 2 2 @t$

$( )2 dEk-= 1m @z- dx 2 @t$
Für die potentielle Energie folgt:

Mit (1 + )ⁿ 1 + n ^. für « 1 resultiert:
$(V ~ -------- ) ( V~ ---(---)2- ) ( )2 dEp = F .ds ~~ F dx2 + dz2- dx = F.dx. 1+ @z- - 1 ~~ F .dx.1 @z- ------- ------- @x 2 @x |ds|$
Damit folgt:
$( )2 dEp-= 1F @z- dx 2 @x$

Gesamtenergie des Massenelementes am Ort x:
$( ) ( ) dE- 1 @z- 2 1 @z- 2 dx = 2m @t + 2F @x$

Beispiel: Laufende harmonische Welle:
$z(x,t) = z0sin(kx- wt)$

$@E 1 1 --- = -mw2z20cos2(kx- wt)+ - F .k2 .z20 .cos2(kx -wt) @x 2 2$
Da ² = F ^. k², gilt:
$|---------------------------| |dE- 2 2 2 | --dx-=-m.w--.z0 .cos(kx--wt)|$
Energie wird transportiert!
$2 E oc (Amplitude)$

$E oc w2$

Leistung, Intensität:
$<P > = mittlere-Energiedichte.L¨ange-des Wellenzuges Zeiteinheit$

$< > <P > = dE- .dx- dx dt$
Für die Saite haben wir:
$<P> = 1mw2 .z2.v 2 0$

$-<P->- I = Fl¨ache$

5.3.4 Anwendung: Akustik, Schallwellen

Schall ist eine longitudinale Druckwelle in einem Medium:

Gas
Flüssigkeit
Festkörper

Ausbreitungsgeschwindigkeit:

V~ ------------------------ v ( =_ c) = R¨uckstellkraft-(Kraftfaktor)- Tr¨agheitsfaktor

Bei einer Saite gilt:

V~ -- F- v = m

In verschiedenen Medien berechnet sich die Schallgeschwindigkeit jeweils anders:

Metallstab: $V~ -- E v = r-$
E ist das Elastizitätsmodul.
Flüssigkeit: $V~ --- v = K- r$
Bei K handelt es sich um das Kompressionsmodul.
Gas: $V~ ---- v = p0.k r0$

$/\ p0= mittlerer Druck$

$/\ r0 = mittlere Dichte$

$k ~~ 1,4 f¨ur reelle Gase, k = 1 f¨ur ideale Gase$

Betrachten wir folgende Beispiele:

v = 6 km- Fe s

vH O = 1485 m 2 s

vH2 = 1260 m- s

N { p0 ~~ 105m2 } m m vLuft v = 330-s bei 0oC, v = 344-s bei 20oC r0 ~~ 1,3mkg3

Erläuterung:

Je höher der Druck p₀, desto höher ist die Stoßrate der Luftmoleküle und desto größer v.
Je größer die Dichte ₀ ist, desto größer ist die Trägheit des Mediums und desto kleiner v.

Stehende Schallwellen:
- Pfeife, an beiden Enden offen:
  - Für Grundwelle: $c1 = 2L$
  - Erste Oberwelle: $c2 = L$
    
    $.. .$
  - (n - 1)-te Oberwelle: $c = 2L- n n$
  $wn- n-- nn = 2p = 2L .v$
- Pfeife, an beiden Enden geschlossen
  
  $c = 2L 1$
  
  $. ..$
  
  $2L n cn = --,nn = --v n 2L$
- Ein Ende offen, eins geschlossen
  
  $c1 = 4L$
  
  $c = 4L 2 3$
  
  $cn = -4L--- 2n- 1$
  
  $|-----------| nn = 2n---1v| -------4L----$
  
  Beispiel:
  Betrachten wir eine Orgelpfeife der Länge 4,4 m: $-344-ms- n1 = 4 .4,4 m ~~ 19,5Hz$
Demonstrationen:
- Vergleiche Flöte Ende offen/geschlossen (ein Ende offen und eins geschlossen): $no =-v-;ng =-v-= 1 no 2L 4L 2$
  
  $==> 1 Oktave$
- Experiment 1: Stehende Wellen/Schallgeschwindigkeit
  - Frequenz: $n = --1---= 1,8kHz 0,6ms$
  - Wellenlänge:
    Es existieren 2 Lautstärkemaxima zwischen x = 9 - 10cm.
    
    Damit gilt:
    $c = 2Dx = 18cm$
  Wir erhalten schließlich:
  $v = c .n = 0,18m .1800Hz = 324 m s$
  Mit 10% und 10% folgt:
  $|-------------| |v = 324± 32 m| ------------s--$
- Experiment 2:
  
  $L 9,9m |---m--| v =------= ------= |341-- | t1- t0 0,029 s -----s-$
- Schallfrequenz in unterschiedlichen Medien:
  In einem Gas gilt:
  $V~ ---- v = p0.k r0$
  Mit = , kleinerem ₀ und konstantem folgt, daß größer wird.

Hören:

Das Ohr ist ein empfindliches Schallorgan mit logarithmischem Ansprechverhalten.

Definitionen:

Ton:
Rein harmonische Schwingung; Tonhöhe durch und Tonstärke durch P² bestimmt
Klang:
Überlagerung von harmonischen Schwingungen
Geräusch:
Unperiodischer Schallimpuls
Knall:
Kurzer Schallimpuls

Außerdem sind folgende Begriffe für das Hörverhalten wichtig:

Hörschwelle:
Dabei handelt es sich um die minimal hörbare Schallintensität:
$Imin(n = 1 kHz) = 10-12-W2 m$

$Im Ohr: <~ 10-15W$
Lautstärke: $I(n) 1 dB =_ 10 .log10I-- [Phon] Dezibel min$

Beispiele:


Geräusch	Intensität


leises Flüstern	10 Phon
lautes Reden	50 Phon
Preßlufthammer	100-130 Phon
Diskothek	100-130 Phon
startendes Düsenflugzeug	120-160 Phon

5.3.5 Wellen von bewegten Quellen/Empfängern (DOPPLER-Effekt)

Experiment: DOPPLEReffekt

registrierte Frequenz fE /= emittierte Frequenz fQ

Die Quelle ruht und der Empfänger bewegt sich.

$-cQ--- TE = c+ vE$

$1 c+ vE fE = T--= -c----wird gr¨oß er E Q$

$( vE) fE = c.-1+--c-- cQ$

$|-------(---vE-)| fE = fQ 1+ -c- | -----------------$

$|-------(------)| fE = fQ 1- vE- | -------------c---$
Quelle bewegt sich und Empfänger ruht.

$c = cQ .fQ$

$cQ- TQ = c$

$cE = cQ - vQTQ$

$c c c .f fE = ---= ----------= --Q---QcQ- cE cQ - vQTQ cQ- vQ c--$

$|-----------1---| |fE = fQ .1---vQ| --------------c-|$

$|---------------| | 1 | |fE = fQ .1-+-vQ| --------------c-$
Quelle und Empfänger bewegen sich.
1. Quelle und Empfänger bewegen sich aufeinander zu. $|---------------| | c+-vE-| |fE = fQ .c- vQ | ----------------$
2. Quelle und Empfänger bewegen sich voneinander weg. $|---------------| |fE = fQ .c--vE-| ----------c+-vQ-|$
3. Quelle und Empfänger bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in die gleiche Richtung. $|---------------| | c+ vE | |fE = fQ .c+-vQ-| ----------------$

Nebenbemerkung:

vQ > c

-c.t-= c-= sina = [Ma] [Mach] vQ .t vQ

Für elektromagnetische Wellen:

V~ ----- c--v- fE = fQ . c+ v

v /\ = relative Geschwindigkeit

5.3.6 Überlagerung von Wellen

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz:

Ungestörte Superposition additive Überlagerung/Interferenz

Beispiel: 2 eindimensionale Wellen

z1(x,t) = z0cos(wt - kx)

z2(x,t) = z0cos(wt- kx+ f)

==> z(x,t) = z1(x,t)+ z2(x,t) = z0(cos(wt - kx)+ z0cos(wt -kx + f))

Es gilt das Additionstheorem:

a + b a- b cosa+ cosb = 2cos--2--cos -2---

( ) ( ) z(x,t) = 2z0 .cos wt--kx+-wt---kx+-f .cos wt--kx--wt-+-kx--f- = ( ) ( 2 ) 2 = 2z0cos - f- .cos wt - kx+ f- ---- ---2 ------- -----2- Amplitude laufende Welle

(5.5)

2 Spezialfälle:

= 0, Amplitude= 2z₀ (Konstruktive Interferenz)

= k ^. 2

mit k

= m ^.

mit m

, Amplitude= 0 (Destruktive Interferenz)

= (2k + 1) ^.

mit k

= (2m + 1) ^.

mit m

Beispiel: stehende Wellen

z1(x,t) = z0cos(wt - kx)

z2(x,t) = z0cos(wt + kx)

|-------------------------| -z(x,t) =-2z0cos(wt)cos(--kx)

Hierbei handelt es sich also um eine stehende Welle.

Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz:
Reale physikalische Welt kennt Wellenzüge.

Simulieren wir durch den Schwebezustand von zwei eindimensionalen Wellen:
$z1(x,t) = z0cos(w1t- k1x)$

$z (x,t) = z cos(w t- k x) 2 0 2 2$

$z(x,t) = z (x,t)+ z (x,t) = 2z cos (w1t--k1x)-+(w2t--k2x)cos (w1t--k1x)--(w2t--k2x)-= 1 ( 2 0 ) ( 2 ) 2 w1-+-w2 k1-+k2- w1--w2- k1--k2- = 2zocos 2 t- 2 x .cos 2 t- 2 x$ (5.6)
$z(x,t) = 2z0cos(wt- kx) .cos(Dwt - Dkx) ------------ ------ ------ (lahuohfeen Fdreeq Wueellnez) (niMedordiguel Fatrioeqnuenz)$

Experiment: Stimmgabel
Fortpflanzungsgeschwindigkeit für z(x,t):

$wt -kx = const.$

$dx-= w-= v dt k Ph$
v_Ph ist die sogenannte Phasengeschwindigkeit.
$Dwt - Dk .x = const.$

$x = const.--Dwt- Dk$

$dx- Dw- dw- v = dt = Dk = dk = vGr$
v_Gr heißt Gruppengeschwindigkeit.
Superpositionsprinzip:

Wenn z₁(x,t) und z₂(x,t) Wellenfunktionen sind, dann auch die Summe bzw. die Differenz z₁(x,t) ± z₂(x,t), oder das Produkt mit einem konstanten Koeffizienten a ^. z₁(x,t).
Grund:

Wie Wellengleichung ist linear in z(x,t).
Beispiel: 2 laufende eindimensionale harmonische Wellen:
$z1(x,t) = z0cos(k1x - w1t)$

$z2(x,t) = z0cos(k2x - w2t)$
Wir addieren die beiden Wellen:
$z1 +z2 =_ z(x,t) = 2z0cos(kx- wt).cos(Dkx - Dwt), wobei gilt:$

$w = w1 +-w2,k = k1 +-k2,Dw = w1--w2,Dk = k1---k2 2 2 2 2$
- Im Punkt P₁: $kx - wt = const.$
  
  ${ } dx- w- w1-+-w2 dt = k = k1 + k2 =_ vPh (Phasengeschwindigkeit)$
- Im Punkt P₂: $Dkx - Dwt = const.$
  
  $dx Dw { w - w } ---= --- = -1----2 =_ vGr (Gruppengeschwindigkeit) dt Dk k1 - k2$
Falls sich die Welle in einem Medium ausbreitet, kann die Frequenz abhängig von der Wellenzahl (d.h. Wellenlänge) sein.
$w = w(k){= w(c)}$
Dies ist die sogenannte Dispersionsrelation.
Mit = v_Ph ^. k folgt:
$vGr = dw-= -d-(vPh .k) = vPh + k.dvPh- dk dk dk$
Mit k = ergibt sich = - und daraus folgt wiederum:
$( ) 2p- dvPh- c2- dvPh- vGr = vPh + c . dc - 2p = vPh - c dc < vPh$

Beispiel:

Pulsformen:

Jede periodisch wiederkehrende Funktion kann durch Superposition von harmonischen Wellen beschrieben werden:

Durch Entwicklung in eine FOURIERreihe folgt:

oo sum oo sum f(t) = a0 + ancosnwt + bn sin nwt n=1 n=1

Die Komponenten der Fourierreihe berechnen sich folgendermaßen:

2 integral T an = T- f(t)cos(nwt)dt 0

integral T b = 2- f(t)sin(nwt)dt n T 0

(FOURIERtransformation)

Beispiel: Rechteckfunktion

T { +1 f¨ur t = 0 ... f(t) = T- 2 - 1 f¨ur t = 2 ...T

1.FOURIERkoeffizient
Mit = folgt:
$( ) integral T2 T integral ( ) a = -2 cos(nwt) dt- cos(nwt)dt = -2-1- [sin nwt]T2- [sinnwt]TT = n T T nw 0 2 0 T2 = -1-(sin np- sin 0- sin n.2p + sinnp) = 0 fur alle n np ¨$ (5.7)
2.FOURIERkoeffizient
$( T ) 2 integral 2 integral T 1 bn = T- sin(nwt)dt- sin(nwt)dt = np-(- cosnp + cos0+ cosn.2p - cosnp) = 0 T2 2 = ---(1- cosnp) np$ (5.8)
${ +1 f¨ur n gerade cosnp = -1 f¨ur n ungerade$
Damit folgt:
$0 f¨ur n gerade { bn = --4- n .p f¨ur n ungerade$

|--------(-----------------------------)--------------------| |f(t) = 4 sin wt+ 1 sin3wt + 1sin5wt+ ... (= Rechtecksfunktion) | -------p---------3---------5--------------------------------|

Die Funktion lautet also:

|-------- oo -------------------| |f(t) = 4- sum --1---sin((2k+ 1)t)| | p k=0 2k+ 1 | ------------------------------

	k = 0		k = 1
	k = 2		k = 3
	k = 4		k = 5
	k = 6		k = 10
	k = 48

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(t) = sin(

t). Damit erhalten wir folgendes Spektrum:

Interferenz von Wellen in 2 und 3 Dimensionen:
- Illustration
  - L₁ = L₂ beziehungsweise L₂ = L₁ + n: Amplituden der Teilwellen addieren sich am Ende $/\ =$ konstruktive Interferenz
  - L₂ = L₁+: Amplituden der Teilwellen löschen sich aus $= /\$ destruktive Interferenz
- Überlagerung zweier radialer Wellen
  
  Am Punkt P gilt:
  $L1 = 6c$
  
  $L2 = 4c$
  Konstruktive Interferenz
  Generell:
  An jedem Ort, wo L = |L₁ - L₂| = n ^. , findet konstruktive Interferenz statt.
Es findet eine konstruktive Interferenz statt, wenn |L₁ -L₂| = n^. = d^. sin_n.
$sinhn = nc-==> Maxima d$

$c sinh = (2n--1)2-==> Minima n d$

Im Zweidimensionalen (Wasserwellen) sieht ein Interferenzmuster folgendermaßen aus:
- Konstruktive Interferenz:
  Sie tritt bei folgenden Winkeln auf:
  $n.c sinhn = -d--= |L2- L1|$
  Maxima befinden sich auf einem Schirm bei x_n = ±R ^. sin_n = ±R ^. für n = 0, 1, ...
- Destruktive Interferenz:
  Minima treten auf dem Schirm bei x_n = ±R auf.
Beispiel (Rock-Konzert):

Sie hören ein Maximum bei:
$n .30m .c xm = ± --3m-.n--$
Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:
$n = 2 kHz : xm = 0m,± 1,72m,...$