5.4 Licht und Materie - Korpuskel und Welle

5.4.1 Licht als elektromagnetische Welle

DL = |L1 - L2|= n .c

Maxima: $n.c- sinhn = d$
Minima: $( ) -n-+-12-.c sin hn = d$

5.4.2 Licht als Korpuskel

Erste Beobachtung durch Photoeffekt (Heute 1887, später HALLWACKS, LENARD)

Interpretation:

Das Licht gibt dem Elektron einen Schubs, der umso stärker ist, je größer die Frequenz

des verwendeten Lichtes ist. PLANCK stellte diese Theorie um 1900 auf; EINSTEIN erhielt 1905 dafür den Nobelpreis.

Eg oc nLicht

E = h.n g

Licht besteht aus einzelnen Korpuskeln ( Photonen).

Eg = h.n = h .w-- =_ h.w 2p

h nennt man das PLANCKsche Wirkungsquantum. Dessen Wert beträgt 6,626 ^. 10^-34 Js. Eine interessante Konsequenz hieraus ist:

E = h .n = mc2

Damit erhält man die kinetische Masse eines Photons:

|---------| | h.n-| -mg-=--c2--

Exkurs: Komplexe Zahlen

Eulersche Darstellung und Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl z = x + iy sind äquivalent:

if e = cos(f)+ isinf

e-if = cos(- f)+ isin(-f) = cos(f) - isin(f)

Der Beweis erfolgt mit den TAYLORentwicklungen der Funktionen e^x, sin(x) und cos(x).

|-------| -i2-=--1-|

z = x + iy

z = r(cos(f)+ isin(f))

z = reif

Der Betrag folgt anschaulich mittels des Satzes von PYTHAGORAS anwendbar auf die Darstellung in der komplexen Zahlenebene:

V~ ------- |z|= r = x2 + y2

Die Projektionen auf die jeweiligen Achsen ergeben sich durch:

Re(z) = x = r cos(f)

Im(z) = y = r sin(f)

Die konjugiert komplexe Zahl folgt durch Spiegelung an der reellen Achse:


z = x + iy	z^* = x - iy
z = reⁱ	z^* = re^-i

Des weiteren lassen sich damit Sinus und Kosinus mit komplexen Exponentialfunktionen darstellen:

if -if if -if cos(f) = e--+-e---, sin(f) = e---e--- 2 2i

5.4.3 Materie als Welle

Bei Licht besteht ein sogenannter Dualismus Welle - Korpuskel. Für den Impuls einer elektromagnetischen Welle ergibt sich:

h .n h m .c =--c- = c-

Im Jahre 1923 stellte DE BROGLIE die Theorie auf, daß Materie analog zu Licht eine Wellennatur besitzt:

h- m .v = c

Hieraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

Beugung und Interferenzeffekte von Teilchen (beispielsweise e^-, n, ...)
Diskrete Energiezustände im Atom

Das Elektron formt eine stehende Welle.
HEISENBERGsche Unschärferelation $Dpx .Dx >~~ h$
Materieteilchen treten als Wellenpakete auf.

Nachweis zur Energiequantelung: FRANCK-HERTZ-Versuch (1914):

5.4.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen

|---------------------| |@2- 2 | -@t2Y(r,t)-=-c /_\ -.Y(r,t)

Wir machen folgenden Ansatz:

integral 3 i(kr-wt) Y(r,t) = d k a(k)e ---- Harmonische Welle

Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich:

(- iw)2 .Y(r,t) = (ik)2 .Y(r,t)

Hieraus folgt dann:

w2 = c2k2

Hieraus folgt nun die Dispersionsrelation für freie Lichtwellen im Vakuum:

|-------| -w =-c-.k

Auch gilt:

w = c.2p- c

c w. 2p-= n .c = c

5.4.5 Materiewellen

Wir benutzen die Formel für die DE BROGLIE-Wellenlänge:

h c = ----- m .v

Damit gilt:

v = --h--= -h .k m .c m

Dies entspricht der Gruppengeschwindigkeit . Somit gilt durch Integration:

|----------------| | h 2 | w(k) = w0 + 2m-k | -----------------

Relativistisch korrekt ist folgendes:

V~ ------------ V~ ------- (m0c )2 w(k) = c. k20 + k2 = c. --h- + k2

1.Fall: k « k₀ $w(k) ~~ c.k0 +-c-k2 2k0$
2.Fall: k » k₀ $w(k) ~~ c.k$

Damit gilt durch partielles Ableiten nach k:

@-- ------k----- v(k) = @kw = c. V~ (m0c-)2---2 h + k

Wellengleichung für Materiewellen:

Die nichtrelativistische SCHRÖDINGERgleichung lautet:

ih-@Y(r,t) = - h2- /_\ Y(r,t) @t 2m

Da es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, machen wir wieder einen Ansatz als FOURIERtransformierte:

1 integral ikr- wt Y(r,t) =----32 d3ka(k)e( ) (2p)

Durch Einsetzen von (,t) in die SCHRÖDINGERgleichung, erhält man:

-h- 2 w(k) = 2m k f¨ur k« k0

Wellengleichung für relativistische Materiewellen:

[ ] -1 @-- (m0c-)2 c2 @t2 - /_\ + h Y(r,t) = 0

Man nennt diese auch KLEIN-GORDAN-Gleichung. Es wird wieder der Ansatz als FOURIERtransformierte verwendet:

integral Y(r,t) =--1-3 d3ka(k)ei(kr- wt) (2p)2

Durch Einsetzen resultiert:

(w )2 (m c)2 - -- + -0-- + k2 = 0 c h

Für m₀0 (Photonen) folgt aus der KLEIN-GORDON-Gleichung die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen.

Interpretation von :

Saite:
ist die Auslenkung (= z).
Elektromagnetische Wellen:
ist die Feldstärke.
Materie:
ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude.

( ,t) = ||² = ^* wird als Aufenthaltswahrscheinlichkeit interpretiert. Es gilt folgende sehr wichtige Normierungsrelation:

|-------------| | integral 3 | | rd r = 1| -V'--> oo ---------

Illustration von Feder-Pendel (harmonischer Oszillator):

Da sich nur stehende Materiewellen im Potential befinden, sind nur diskrete Energieniveaus möglich. Dies führt also zu einer Quantelung der Energie.

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