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2.1 Mechanik von Massenpunkten

2.1.1 Bewegung in einer Dimension

2.1.2 2-dimensionale Bewegung

(x(t)) r(t) = y(t) {x(t)ex + y(t)ey}

( ) ( ) ( ) ( ) vx(t) ddxt dr ax(t) d2dxt2- dv- d2r- v(t) = vy(t) = ddyt = dta(t) = ay(t) = d2y2- = dt = dt2 dt

Beispiel: Fall vertikal/mit horizontaler Bewegung
PIC

2.1.3 Dreidimensionale Bewegung

( ) ( ) { dx df } ax(t) ddvxt- dv d2r(t) d2r --- =_ ˙x,-- =_ f' a(t) = ay(t) = ddvyt- = ---= ---2- =_ --2 dt dx az(t) ddvtz dt dt dt

( ) ( ) vx(t) x(t) v(t) = vy(t) , r(t) = y(t) vz(t) z(t)

Auch hier ist die Bewegung in x, y, z-Richtung unabhängig!

Beispiel:
( ) ( ) x(t) x0 + vxt y(t) = y0 +vyt z(t) z0 + vzt- g2t2

PIC

Beispiel: Affe im Baum
PIC

Für t = tA trifft die Kugel den Affen:

r (t ) = r (t ) A A K A

Es gilt somit:

xA = v0x .tA

g g yA- - t2A = v0ytA - -t2A 2 2

Damit folgt:

|---------------| |yA- v0y | |xA = v0x = tana| -----------------

Dies ist eine wahre Aussage. Der Affe ist wohl kein guter Physiker, da er von der Kugel getroffen wird.

2.1.4 Sonderfall Kreisbewegung

PIC

r(t), v(t), a(t) ändern sich laufend!

Einführung von Polarkoordinaten:
(x(t)) (cosh(t)) r(t) = y(t) = r . sin h(t) r = |r(t)|= const. (> 0)

r(t) = r.er(t)

( ) dr d(cosdht(t)) dh(t)( - sinh(t)) dh- v(t) = dt = r d(sinh(t)) = r dt cosh(t) = r dteh(t) dt

Kettenregel:
df(g(x))-= dg(t).df- dt dt dg

dh ( p ) v(t) = r-- cos(h(t)+ 2p) dt sin(h(t)+ 2)

==> v _L r

( ) ( ) ( ) d2h -sinh(t) dh-2 - cosh(t) a(t) = rdt2 cosh(t) + r dt . - sin h(t)

Produktregel:
d(f .g) dg df ------= f .---+ g.--- dt dt dt

d2h (dh-)2 a(t) = rdt2 .eh(t)- r dt er(t) = ah(t)+ ar(t)

a (t) /\ = Tangentialbeschleunigung h

/\ ar(t)= Zentripetalbeschleunigung

2.1.5 Sonderfall: Konstante Kreisbewegung

PIC

|r(t)|= r =_ const.

|v(t)|= v =_ const.

| | v = ||r.dh-.e ||= rdh- | dt h| dt

dh v ==> ---= - (Winkelgeschwindigkeit) dt r

==> h(t) = v.t+ h0 r

Mit der Umlaufzeit T folgt:

v = 2pr- =_ w .r; w =_ Winkelgeschwindigkeit/Kreisfrequenz (w = 2p.n) T

Damit ergibt sich:

h(t) = w .t+ h0

( ) r(t) = r . cos(wt + h0) sin(wt +h0)

( -sin(wt + h0)) v(t) = r .w. cos(wt+ h0)

( ) 2 - cos(wt+ h0) a(t) = r.w . - sin(wt+ h0)

Zentripetalbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung=0)

In Skalaren:
|r(t)|= r

|v(t)|= v = r .w

2 v2 v |a(t)|= ar = rw = r- mit w = r

Illustration:
PIC
Beispiele:

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