2.2 Die Newtonschen Gesetze

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2.2 Die NEWTONschen Gesetze

N1:

_i =

= 0

Solange keine resultierende Kraft auf einen Körper wirkt, verbleibt er in seinem Bewegungszustand.

N2:

(

= m ^.

)

Eine Kraft, die auf einen Körper mit Masse m einwirkt, führt zu einer Beschleunigung des Körpers, die proportional zur Kraft ist.

N3:

₁₂ = -

₂₁

Zu jeder einwirkenden Kraft gibt es immer eine Gegenkraft.

m- [F] = 1 kgs2 =_ 1 N

Auch: 1 kp = 9,81N ( Kilo)

Einheiten:

1N = 1 kg-.m 1 dyn = 1 g.cm s2 s2

m- 1kp = 1kg.9,8 s2 = 9,8N (Gewicht von 1 kg auf der Erde)

ft 1lb = 1slug.1 2-= 4,45N s

==> 1slug = 14,5kg

Beispiel:

Kraft zwischen Sonne und Erde (m_E = 6 ^. 10²⁴ kg):

2 4p2 11 -3 m -4 az = w R = (1-Jahr)2-.1,5 .10 m = 6.10 s2,( ~~ 6.10 g)

Fz = mE .az = 3,6.1022N

2.2.1 Anwendungen von NEWTONs Gesetzen

Kraft am Faden
- Seil hält:
  
  $Fm = mG .g G$
  Da sich der Körper im Kräftegleichgewicht befindet, ist die Vektorsumme aller Kräfte gleich 0:
  $sum F = o i i$
  Die einzigen Kräfte, die auftreten, sind die Gewichtskraft und die Seilkraft. Die Summe aller Kräfte am ruhenden Körper ist gleich Null:
  $FS + Fm = o G$
  Damit folgt:
  $FS = - mG .g$
- Seil reißt:
  
  $sum Fi = mG .g = mT .a i$
  
  $a = mG .g = g mT$
  Träge und schwere Masse sind identisch!
  Äquivalenzprinzip!
  $|-------------| -mG-=-mT-- =_ -m|$
Beschleunigung im elektrostatischen Feld:
- Elektrostatische Kraft: $Fq = q.E$
- Kraft auf Elektron: $Fe = e .E = me- .ae-$
- Kraft auf Antiproton: $Fe = e .E = mp .ap$
$- ==> ae- = -mp- ~~ 2000 ap me -$
Aufhängung an schräger Rampe

Die allgemeine Betrachtung liefert:
$sum Fi = FN + FS + mg = o i$
- Körper ist punktförmig.
- Alle Kräfte, die auf Körper wirken, einzeichnen!
- Definiere optimales Koordinatensystem!
- Wenn nicht spezifiziert, wird Reibung vernachlässigt.
Die Kräfte werden komponentenweise betrachtet:
- x-Richtung: $F - mg sina = 0 S$
- y-Richtung: $FN - mg cosa = 0$
Dann ergibt sich folgende Lösung:
$|-------------------------| |FS = mg sina; FN = mg cosa| ---------------------------$
Bewegung eines reibungsfreien Klotzes

$FN + FS1 + m1g = m1a1$

$FS + m2g = m2a2 2$
Vektoriell geschrieben lautet die Kräftebilanz:
$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FS1 = m1a1 und 0 + 0 = 0 FN - m1g 0 FS2 - m2g - m2a2$
Wir betrachten nun die Kräfte komponentenweise und erhalten somit:
1. 1.Körper:
  y-Richtung: F_N - m₁g = 0
  x-Richtung: F_S₁ = m₁a₁
2. 2.Körper:
  y-Richtung: F_S₂ - m₂g = -m₂a₂
Die beiden Körper erfahren die gleiche Beschleunigung, außerdem sind die beiden Seilkräfte gleich groß.
$|a1|= |a2|= a$

$|FS1|= |FS2|$

$==> m1a - m2g = -m2a$

$--m2---- ==> a = m1 + m2 g$

$( 0 ) ==> a = - -m2--g m1+m2$

Diskussion:
$m1 = 0 : a = g$

$m2 '--> oo : a '--> g$

$m1 '--> oo : a '--> 0$

$m '--> 2m : a '--> 2a 2 2$
Eisenbahn
- 3.Waggon: $FN3 +m3g + FS3 = m3a$
- 2.Waggon: $FN2 + m2g - FS3 + FS2 = m2a$
- 1.Waggon: $FN1 + m1g - FS2 + FS1 = m1a$
Die Kräfte in vertikaler Richtung, also die und die gleichen sich aus. Infolgedessen sind nur noch die waagerechten Kräfte von Bedeutung. Wir addieren die drei Gleichungen und erhalten so
$|-------------------------------------------| | FZ | |FS1 = (m1 + m2 + m3) .a mit a = m1-+-m2 +-m3| --------------------------------------------$

Für die anderen Seilkräfte folgt:
- F_S₃ = m₃a
- F_S₂ = m₃a + m₂a
$F - F + m g+ F = m a Z S1 Z NZ Z$
Die Geschichte vom faulen Pferd

Für das Pferd gilt folgendes:
$sum Fi = o ==> a = o i$

$sum F = - F + F + F + mg = o = ma i i S P N$
Schubkräfte
Welche Kräfte wirken auf die Klötze?
- Klotz 1:
  - Normalkraft _N₁
  - Gewichtskraft _m₁ = m₁ ^.
  - Druckkraft -_D
- Klotz 2:
  - Normalkraft _N₂
  - Gewichtskraft _m₂ = m₂ ^.
  - Druckkraft _D
  Die Schubkraft wirkt auf das ganze System bestehend aus den beiden Klötzen.
- Beschleunigende Kraft wirkt direkt auf Klotz 1
  
  Die Kräftebilanz für das gesamte System lautet:
  $F + m1g -FD + FN1 + m2g + FD + FN2 = a(m1 + m2)$
  Speziell für den Klotz 2 erhalten wir:
  $FN2 + m2g + FD = a.m2$
  Die relevanten Komponenten sind diejenigen in x-Richtung:
  $F FDx = axm2 mit ax =----x--- m1 + m2$
  Damit ergibt sich also:
  $|------------m----| FDx = Fx .----2---| ----------m1-+-m2--$
  Diese Kraft ist gleich der Kraft _2x, mit welcher der zweite Klotz beschleunigt wird.
- Beschleunigende Kraft wirkt direkt auf Klotz 2
  
  $Fx = -|F|.ex$
  
  $ax = -|a|.ex$
  Damit ergibt sich für die Kraft _Dx auf den ersten Klotz:
  $F = m a mit a = ---Fx--- Dx 1 x x m1 + m2$
  Damit gilt also:
  $|-----------------| F = F .---m1---| --Dx----x-m1-+-m2--$
Kräfte im Aufzug
1. Aufzug steht: $FN + mg = o$
  
  $FN = m .g$
2. Aufzug beschleunigt: $FN + mg = ma$
  
  $y-Richtung: FN - mg = ma$
  - Beschleunigung nach oben: a > 0 $FN = m .(g+ a)$
  - Beschleunigung nach unten: a = -|| $F = m .(g- |a|) N$
    
    $Spezialfall: a = g : FN = 0$

2.2.2 Das Federpendel

Bis jetzt kennen wir:

F = m ^. g		Gravitationskraft
F = F_N		Normalkraft
F = F_Z		Zugkraft
F = F_D		Schubkraft

Bis jetzt waren Kräfte konstant. Damit galt die Bewegungsgleichung:

r(t) = at2 + v0t+ r0 2

Als Beispiel für eine Kraft, die nicht konstant ist, wollen wir die Federkraft näher betrachten:

Das sogenannte Hookesche Gesetz lautet:

/\ FF = -kx mit k = Federkonstante

Es ergibt sich folgende Beschleunigung:

|----| aF = FF- = - kx-| m --m---

Bewegungsgleichung: $a(t) = d2x(t)-= - k-.x(t) dt2---- -m----- Differentialgleichung 2.Ordnung$
Wir verwenden zur Lösung folgenden Ansatz:
$x(t) = x0cos(wt + h0)$
Wir setzen dies in die Gleichung ein:
$2 k- ¨x(t) = -w x0 cos(wt+ h0) = - m x0cos(wt + h0)$

$V~ --- k ==> w = m-$
Wir haben folgende Randbedingungen:
$x(t = 0) = x0 = x0cos(h0)$ (2.1)
$==> h0 = 0$
Die Lösung lautet dann:
$( V~ ---) -k x(t) = x0cos m t$

Aus = 2 = folgt:
$V ~ --- T = 2p-= 2p m- w k$
Anwendung: Gewichtsmessung

$FF +mg = o$
Betrachten wir die y-Komponente:
$ky = - mg$
Damit ergibt sich:
$y = -mg- k$
Damit folgt das Gewicht des Massestücks:
$|-------| mg = ky| ---------$

2.2.3 Reibung

Haftreibung _H (v_rel = 0)
Verklebung zweier Körper durch Rauhigkeit oder elektrostatische Kräfte
Gleitreibung _G (v_rel > 0)
(Reibung durch Viskosität)

Illustration:

$fH = mH .FN } /\ m = Reibungskoeffizient fG = mG .FN$
Allgemein gilt _H > _G.
$( ) F + fG +FN +mg = ma F| |> |fG|$

$( ) F + fH + FN + mg = o |F |< |fH |$
Betrachten wir außerdem folgenden Sonderfall:
$F + fG + FN + mg = o$
Für = - _G gleitet der Körper mit konstanter Geschwindigkeit.
Beispiel:

$x-Richtung: - mg sin a+ f = 0 H$

$y-Richtung: FN - mg cosa = 0$

$==> fH = mg sina$

$==> FN = mg cosa$
Mit f_H = F_N ^. _H und _H = tan, wobei der maximal mögliche Wert ist (bevor m gleitet).
$Holz auf Holz: mH = tan 26o = 0,49 mG = tan 10o = 0,18 Sandpapier-auf Holz: mH = tan 33o = 0,65 mG = tan 28o = 0,53$

2.2.4 Rotationsdynamik

Ehedem: Kinematik der Drehbewegung

Es wirkt die Zentripetalkraft:

Fz = m .az

Es gilt für die Beschleunigung:

az = Fz m

Damit folgt dann für die Bewegungsgleichung:

|--------------------------| | 2 (cos(wt+ f0)) | /\ |az(t) = -w R sin(wt + f0) mit w = Kreisfrequenz ---------------------------

Durch zweimalige Integration nach t erhalten wir (t):

( ) r(t) = R . cos(wt + f0) sin(wt + f0)

Mit |_z| = ²R = resultiert:

------------ | V~ ---- | |w = -Fz--| -------m-.R-|

Damit folgt also schließlich:

|--------(----(----------)-)--------------------(------(----------))-| | V~ -Fz V~ --- V~ Fz | | cos( mR t+ f0) Fz-- - sin( mR t+ f0) | |r(t) = R. V~ -Fz und v(t) = R . mR . V~ -Fz | | sin mR t+ f0 cos mR t+ f0 | ----------------------------------------------------------------------

Beispiele:

Drehpendel

$mg + FZug = maz$

$x-Richtung: FZug sin a = maz } az = g .tan a = w2R = w2lsina y-Richtung: FZug cosa = mg$
Hiermit folgt für die Kreisfrequenz und der Periodendauer T:
$|-----------| | V~ --g---| |w = ------| ------lcosa--$

$|----- V~ ------| | lcosa | T = 2p --g--| ---------------$

Diskussion:
Für 0^o resultiert T2. Es handelt sich also um die Periodendauer eines Pendels.
Projektion:
$a '--> 90o$

$T '--> 0$
Auto im Winter

$mg + FN = maz$
Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:
$km v = 200-h-,R = 1km,a = ?$

$x-Richtung: maz = - FN sina = - mg tan a$ (2.2)
Hiermit haben wir folgende Beschleunigung: $v2 az = -gtana = - R-$

$( 103)2 m2- -v2- --200-.3600---s2 tan a = R.g = 1000m .9,81 ms2 = 0,315$
Damit ergibt sich folgender Winkel:
$|a-=-17,5o-| ----------|$
Straße mit Reibung

$fH + FN + mg = maz$

$2 x-Richtung: az = fH = mH .g = v m R$
Damit folgt für die Geschwindigkeit:
$|--- V~ --------| |v = R .mH .g| ---------------$
Solange v < rutscht das Auto nicht! Wenn v > beginnt es zu rutschen!

2.2.5 Arbeit und Energie

(Oder seit Adam und Eva das Paradies verlassen mußten)

Arbeit =_ Kraft × Weg

Einfachster Fall:

A = F .d

A = F .d S

Genereller:

A = F .d

A = F .d = ||F ||.d.cosa Zugx Zug

Allgemein:

sum sum Aa'-->b = DAi = Fi .Dri i i

integral b ==> F (r) dr a

integral b A = (Fx dx+ Fy dy+ Fzdz) a

2 [A] = 1kg m- =_ 1Nm s2 =_ 1Joule =_ 1Ws

(2.3)

Illustration:

Klettern auf Stufe (v=const.) $F + mg = o$

$F = mg$

$( ) ( ) 0 0 A = F .h = mg . h = m .g.h$
Professor MÜLLER steigt die Stufe hinauf:
$m- A = 0,5 m .9,81 s2 .80kg = 392Nm = 392Ws$
Mit dieser Arbeit kann man eine 40W-Glühbirne 10s leuchten lassen!
Schiebe Kiste (v =const.)

$FN + mg + FS + fG = o$
Kraft, die Arbeit leistet:
$FS = -fG$

$A = FS .d = fG .(b - a)$
Dehnung einer Feder

$FZug = k.x$

$integral b A = kxdx = k-b2 0 2$
Schiebe Schaukel an:

Keine Beschleunigung:
$F + F + mg = o Zug$
- x-Richtung: $F - F sina = 0 Zug$
- y-Richtung: $FZug cosa- mg = 0$
$==> F = FZug sina = m .g.tana$

$b b b integral integral integral A = F(r)dr = (Fxdx + Fydy+ Fz dz) = m .g .tan a.dx a a a$
Mit tan = folgt:
$integral b integral by A = mg dydx = mg dy = mg .(by- ay) = m .g.h a dx ay$

Arbeit A = _Pd

Die Arbeit in konservativen Kraftfeldern ist unabhängig vom Weg:
$b integral b integral integral a A = F dr = F dr = - F dr P1 P2 a a b$

$gf Aa'-->a = F dr = 0$

Beispiele:
- (Homogenes) Gravitationsfeld $integral b A = mg dy = mg(b- a) a$
  
  $integral a Ab'-->a = + mg dy = -mg(b - a) b$
  
  $Aa'-->a = 0$
- Federkraft $F = -kx (Hookesches Gesetz)$
  
  Für die Zugkraft ergibt sich:
  $FZug = +kx$
  
  $integral b integral a Aa'-->b = kx dx = 1k(b2- a2) = - kxdx = - Ab'-->a a 2 b$
- Nicht konservative Kraft: Reibung
  
  $integral b Aa'-->b = fG dx = fG(b - a) a$
  
  $integral a A = - f dx = f (b- a) = A b'-->a G G a'-->b b$
  Das heißt:
  $gf Aa'-->a = fGdr /= 0$
Definition von konservativen Kräften:
Die Kraft ist konservativ, wenn es eine skalare Funktion gibt, für die gilt: $F (r)= - \~/ V (r) Nabla (arab.Pfeil)$

$( ) @@x- \~/ =_ @@y- (@ /\ = partielle Ableitung ) @- @z$

$gf gf ( @-) ( ) @@x dx Aa'-->a = F dr = - @@y V (r) dy = @z -dz-- dr integral ax integral ay integral az = - @-V (r)dx - -@-V(r)dy- @-V (r)dz = ax @x ay @y az @z ( ) = - V(ax)- V (ax) + V(ay)- V(ay)+ V (az)- V (az) = 0$ (2.4)
Kinetische Energie:
Wenn resultierende Kraft Arbeit leistet ( = m), bekommt das Objekt kinetische Energie:
$integral b integral b integral b integral vb A = F dr = m.a(r,t)dr = m dv(t)dr = mv dv = 1 m(v2b-v2a) = Ek(b)- Ek(a) dt 2 a a a va$
Potentielle Energie:
Potentielle Energie ist gespeicherte Energie, die vollständig umgewandelt werden kann in kinetische Energie.
$integral b A = F dr = Ep(b) -Ep(a) a$

Energieerhaltungssatz:

Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. (Spezialfall: reibungslose mechanische Energie)

E = Ek(a) + Ep(a) = Ek(b)+ Ep(b) = const.

==> DE = DEk + DEp = 0

Illustrationen und Beispiele:

Fallender Gegenstand

$E = Ep(a)+ Ek(a) = m .g .h + 0 = Ep(b)+ Ek(b) = 0 + 1mv2 2$
Damit ergibt sich folgende Geschwindigkeit:
$|---------| |v = V~ 2gh| ----------$
Beschleunigung eines Gleiters

$E = m gh + 0 = m gh + 1m v2 + 1m v2 2 a 2 b 2 2 2 1$
Hiermit folgt:
$|--- V~ --------------| |v = 2m2g(ha--hb)-| | m2 + m1 | --------------------|$
Betrachten wir wiederum folgendes Zahlenbeispiel:
$h = ha- hb = 1,47 m$

$-3 m2 = 6 .10 kg$

$m1 = 0,255kg$

$m ==> vtheoretisch = 0,81s-$

$==> v = 0,77 m- experimentell s$
Kanonenschuß

Energien:
$1 2 1 2 E = Ep(a)+ Ek(a) = mgh + 2mv a = Ep(b)+ Ek(b) = 0+ 2mvb$

$==> vb = V~ 2gh-+-v2 a$
Illustration: Schwingendes Pendel

$Ea = mgha$

$1 2 Eb = 2mv b + mghb$

$Ec = mgha$
Federkraft

$E = Ea = m .g.ha$

$1 Eb = m .g .hb +-mv2b 2$

$E = mgh + 1kx2 c 2 0$

$==> m .g .h = m .g .h + 1kx2 a c 2 0$

$V~ ------------ 2mg(ha - hc) ==> x0 = -----k------$

Energiediagramme:

Federpotential:

$E = Ek + Ep = const.$
Gravitationspotential:

$Ep(r) = - Gm1m2- r$
Elektrostatisches Potential:

$-q1q2- Ep(r) = - 4pe0r$

Bisher:
Es galten die Gesetze der Erhaltung mechanischer Energie, d.h. wir verzichteten auf dissipative Kräfte.
$E = E (a)+ E (a) = E b)+ E (b) = const. p k ( k$

$DE = DE + DE = 0 p k$
Jetzt:
Die innere Energie ist eine Art Arbeit, welche nicht vollständig in kinetische Energie (im allgemeinen mechanische Arbeit) zurückgewandelt werden kann.

Beispiel:

Für Reibung, Wärmeenergie, Verformungsenergie, innere Energie gilt:

Etot = Ep(a)+ Ek(a) = Ep(b) + Ek(b) + EIN F integral 2 -F FIN dr 1

Rechenbeispiel: Achterbahn mit Looping

Ohne innere Energie
- E_A = m ^. g ^. h + 0E
- E_B = 0 + mv₀²
- E_C = m ^. g ^. (2R) + mv₁²
Hiermit folgt:
$V~ ---- v0 = 2gh$

$V~ --------- v1 = 2gh- 4gR$

Zahlenbeispiel:
Es sei h = 60m, R = 20m und m = 600kg. Damit ergeben sich folgende Geschwindigkeiten: $v0 ~~ 34,29 m s$

$v ~~ 19,8 m 1 s$
Jetzt wollen wir auf der Strecke d bremsen. (REIBUNG AN!)
- E_A = m ^. g ^. h + 0 + 0
- E_B = 0 + mv₀² + 0
- E_D = 0 + mv₂² + _x₀^{x₀ + d}f_G dx
$r integral 2 x integral 0+d EIN = - fgdr = - - fGdx r1 x0$

Zahlenbeispiel:
Mit d = 40m und = 0.5 erhalten wir: $V~ ---------- 2fGd V~ ---------- m v2 = 2gh- --m--= 2gh - 2mgd ~~ 28 s (mit fG = m .g .m)$

Zentral: Energieerhaltung

Die Energie E ist eine mengenartige Größe. Energietransformationen in einem geschlossenen System:

E_tot = E_p + E_k + E_IN = const.

E =

E_p +

E_k +

E_IN = 0

Beispiel:

E_tot = m ^. g ^. y₁ + kd²;E_k = 0;E_IN₁ = 0,E_IN₂ = 0
E_tot = m ^. g ^. y₁ + mv₀²;E_IN₁ = 0,E_IN₂ = 0
m ^. g ^. y₁ + mv₁² + E_IN₁
m ^. g ^. y₁ + mv₂² + E_IN₁ + E_IN₂
m ^. g ^. (y₁ + h) + E_IN₁ + E_IN₂

Energietransformationen:

mv₀² = kd²
E_IN1 = mv₁² -mv₀² = m
E_IN2 = m(v₂² - v₁²)
mgh = mv₂²

Zu jedem Zeitpunkt (Ort) kann man somit die Bewegung beschreiben.

RECHNEN MIT ENERGIEN IST HÄUFIG EINFACHER ALS MIT BEWEGUNGSGLEICHUNGEN ODER KRÄFTEN!

Leistung (engl. power):

<P> = A-(Arbeit im Zeitintervall) t

dA kg.m2 P = ---,[P] = 1--3---= 1W dt s

Nach JAMES WATT (*1736): Entwickler der modernen Dampfmaschine (Auch 1PS = 735,4988W)

Versuch:

Wir bestimmen die Leistung des Übungsgruppenleiters, Höhe: 3m

m- <P> = m-.g.h-= 80kg-.9,81s2 .3m ~~ 3PS-= 3 PS t t 5s 5

Zusammenhang zwischen mechanischer und elektrischer Leistung:

1W = 1 Nm- = 1VA s

Eine Lampe besitzt beispielsweise eine Leistung von 50 - 100W. Für einen Porsche gilt:

1200kg, t = 5 s

km ( m ) v = 0 ==> v = 100-h 28-s

( ) 12mv2 12 .1200kg .28 ms-2 <P> = --t--= -------t--------- ~~ 94kW = 126PS

Schwerpunkt und Impuls:

Bis jetzt haben wir Körper nur im geschlossenen System betrachtet. Jetzt wollen wir makroskopische Systeme, in denen N Teilchen miteinander wechselwirken, untersuchen. Unser Interesse gilt der Gesamtbewegung des Systems.