2.3 Systeme von Massenpunkten

2.3.1 Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass)

sum miri r =_ i sum --- CM mi i

Für unendlich viele Teilchen kann man dies verallgemeinern:

1 integral 1 integral rCM = ---. r dm = ---. r.r(r)dV M M

sum mivi sum vCM = -i----;M .vCM =_ pCM = pi M i

sum miai sum aCM = -i-----;M .aCM = FCM = Fi M i

Der Impulserhaltungssatz:

In einem geschlossenen System ohne resultierende (externe) Kraft ist der Gesamtimpuls erhalten:

_i =

$/\ =$

Beispiele, Demonstrationen:
Wenn keine äußeren Kräfte wirken, ist _CM erhalten. ODER: WIE ERFAHRE ICH DAS GEWICHT MEINES ÜBUNGSGRUPPENLEITERS? (funktioniert auch bei Frauen!)
RICARDO, CARMELITA in einem Boot:

$mR = 80kg, mC = ?$

$mB = 30kg$

$l = 3 m$
Die beiden tauschen die Plätze. Dabei bewegt sich das Boot um 40 cm.

$M xCM = mRxR +mBxB + mCxC$
Auch gilt x_C = x_R + l und mit d = 0,40m folgt:
$M x' = m x'+m x'+m x'= m (x - d)+m (x -d)+m (x - d) = M x CM R R B B C C R C B B C R CM$

$mR(l---d)--mBd- mC = l+d ~~ 57,6kg$

$\text{[math]}$

Beispiel:
Sie stehen auf dem Eis, werfen Schuh von sich:

$mSt = 73kg vCM = 0$

$m = 2kg v = 10-m Sch Sch s$
Keine resultierenden äußeren Kräfte:
$pCM = const.= p1 + p2$
Hier gilt _CM = = m_St_St + m_Sch_Sch. Wir betrachten die Bewegung in x-Richtung:
$m v - m v = 0 Sch Sch StSt$

$mSch 2kg m m ==> vSt = ----vSch =-----.10-- ~~ 0,26-- mSt 23kg s s$

Beispiele:

CM-Bewegung mit externer Kraft:

Betrachte Fall der Kugeln:
- Kugeln kleben zusammen $M = m1 + m2$
  
  $FCM = m1g + m2g = M g /= 0$
  
  $d ==> --pCM = M g dt$
  
  $( 0 ) ( 0 ) pCM = -M gt ;vCM = -gt$
  
  $( ) 0 rCM = - g2t2 + h$
- Kugeln bewegen sich auseinander:
  
  $( - v1t ) ( v2t ) r1(t) = h- gt2 ;r2(t) = h- gt2 2 2$
  
  $m1r1(t)+ m2r2(t) 1 ( -m1v1t + m2v2t) ( 0 ) rCM (t) = ------M--------= M-- M (h- gt2) = h- gt2 2 2$
  
  $(m v - m v = 0) 11 2 2$
  
  $( 0 ) vCM(t) = - gt$
  
  $pCM(t) = M .vCM (t) = M .g.t$
  
  $dpCM-(t)= M .g dt$
Systeme mit variierender Masse: Raketen

$p = (m + m ).v = M .v CM R B 0 0$

$t = t0 + Dt$

$' pCM = (m - DM )(v0 + Dv) +DM .u = = (M - DM ).(v0 + Dv)+ DM (vrel + v0) = = M v0 + M Dv - DM v0- DM Dv +DM vrel + DM v0 = pCM = M v0 klein-$ (2.5)
Damit resultiert: $M Dv + DM v = 0 rel$

$dM dv F¨ur Dt '--> 0 :---vrel +M --= 0 dt -- dt Schubkraft$
Wir zerlegen dies in Komponenten:
$-dM--vrel = M dv dt dt$

$integral dM 1 v integral end - M---= v-- dv relv0$

$M = mR + mB$
Damit ergibt sich dann für die Endgeschwindigkeit:
$|------------(--------)-----| vend = vrel .ln mR-+-mB + v0| -----------------mR----------$

Beispiele:
- Saturn V (Apollo):
  
  Der Brennstoff dieser Rakete besteht aus Kerosin und flüssigem Sauerstoff (O₂(l)).
  $7-m vrel = 3,1.10 s$
  
  $mR + mB = 2450t(!)$
  
  $mB = 1700t$
  Die Brenndauer des Treibstoffs beträgt 100 s. Unter Vernachlässigung der Gravitation ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von:
  $v = 3700 m end s$
  Korrekt ist jedoch:
  $m- -m m- vend = 3700 s - g.100s = 2700 s < 10700 s (Fluchtgeschwindigkeit)!$
  Dies ist viel zu wenig! Die Lösung dieses Dilemmas ist nun die Mehrstufenrakete, bei welcher im Laufe des Flugs m_R reduziert wird!
- Reise zum nächsten Stern (-Centauri): $! 8 m- vend = c = 3.10 s$
  - Konventioneller Treibstoff: $H2(l)+ O2(l)-- > vrel = 5.103-m s$
    
    $mR = 105kg$
    
    $|------------(--------)-| | mR-+-mB- | vend = vrel .ln mR | -------------------------$
    Damit gilt:
    $|-------------------------| | ( [vend] ) | |mB = mR . exp v--- - 1 | -----------------rel-------$
    Für v_end = c ergibt sich eine Masse des Brennstoffs von 10⁴⁹¹² kg! Dies geht nicht!
  - Kernfusion von D + T: $7 m vrel = 3.10-s$
    
    $mB = 2,2.106t$
    Geht auch nicht!
  - Antimaterie:
    - Erzeugung:
    - Vernichtung von Materie und Antimaterie im Raumschiff: Rückstoß $p+ p---> p+p -p0 (typisch)$
      
      $( [ ] ) -c-- mB = 100 t. exp c.23 - 1 ~~ 450 t$
      Muß mitgenommen werden zum Bremsen:
      $( ) ==> mB = 550t.exp -c-- = 2465 t c.23$
      Allerdings wurde bislang nur ca. 0,1 mg an p hergestellt!

2.3.2 Elastische und unelastische Stöße

Elastische Stöße:
Kinetische Energie vor und nach dem Stoß sind gleich:
$Etot = Eki + Epi = Ekf + Epf (i=initial, f=final)$

$Eki = Ekf$
Inelastische Stöße: $Ekf = Eki- Q (Q=innere Energie)$

Beispiele von Stößen:

Beim Billard:
Gravitation:

Kraftübertragung durch Kraftstoß:

t integral f Dp1 = p1f- p1i = F2'-->1 dt ti

t integral f Dp2 = p2f- p2i = F1'-->2 dt ti

Aus dem 3.Newtonschen Gesetz ₂₁ = -₁₂ ergibt sich ₁ + ₂ = und damit:

pCM = p1i + p2i = p1f + p2f = const.

Dies ist nichts anderes als der Impulserhaltungssatz.

Spezialfall: Elastischer Stoß

pCM = const.= m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f

1 2 1 2 1 2 1 2 Ek = const.= 2m1v 1i + 2m2v2i = 2 m1v1f + 2 m2v2f

Illustration:

Im eindimensionalen Fall gilt:

m1(v1i -v1f) = m2(v2f - v2i)

1 ( ) 1 ( ) -m1 v21i- v21f = -m2 v22f - v22i 2 2

==> v1i + v1f = v2i + v2f

==> v1i- v2i = v2f- v1f

Einsetzen ergibt:

|--------(--------)-----(---------)---------(---------)-----(--------)-| |v = v m1---m2- + v --2m2--- , v = v --2m1--- + v m2--m1-- | | 1f 1i m1 + m2 2i m1 + m2 2f 1i m1 + m2 2i m1 +m2 | -----------------------------------------------------------------------

Beispiele:

m₁ = m₂ (Billard)

v_1f = v_2i
v_2f = v_1i
m₁ = m₂ und v_2i = 0

v_1f = 0
v_2f = v_1i
m₂ = und v_2i = 0

v_1f = -v_1i + ₌₀
v_2f = 0
m₁ = und v_2i = 0

v_1f = v_1i
v_2f = 2v_1i

Inelastischer Stoß:

pCM = const.,ECM /= const.!

1 2 1 2 Etot = Ek1i + Ek2i = 2m1v 1i + 2m2v2i = Ek1f +Ek2f + Q (Q =_ Uint) 1 2 1 2 = 2m1v1f + 2m2v2f +Q

(2.6)

Illustration:

Eindimensional, total inelastisch:

Der Impuls ist erhalten:

m1v1i + m2v2i = (m1 +m2)vf = pCM (= const.)

==> v = m1v1i +-m2v2i f m1 + +m2

Beispiel für Energie/Impulserhaltung:

Man hat -Zerfälle untersucht:

Hierbei wurde festgestellt, daß _Ki > _Kf + _e^-. Die Lösung des Problems ist nun folgende:

Postulat von Pauli (1933): Neutrino

Für die Energie bei einem total inelastischen Zusammenstoß gilt jedoch:

1 1 1 Etot = 2m1v21i + 2m2v22i = 2(m1 + m2)v2f + Q

1 -m1m2--- 2 ==> Q = 2 m1 + m2(v1i- v2i)

Allgemeine Anwendung von Stößen:

Aus der Bewegung am Anfang und am Ende kann man Rückschlüsse über den Stoßprozess ziehen.

Beispiele:

m₁ = m₂,v_2i = -v_1i

$1 ==> vf = 0;Etot = 2 .-m1v21i = Q 2$
m₁ = m₂,v_2i = 0

$==> vf = 1v1i 2$

$Etot = 1m1v21i = 1(m1 + m2)v2if + Q = 1m1v21i + 1 m1v21i 2 2 4 4$
m₂ = ,v_2i = 0

$1 2 ==> vf = v2i = 0,Etot = Q = 2 mv1i$
m₁ = ,v_2i = 0

$==> vf = v1i,Etot = oo ,Q = 1m2v21i 2$

Stöße in 2 bzw. 3 Dimensionen:

Es gibt 2 gebräuchliche Systeme, um Stöße zu beschreiben:

Schwerpunktsystem (CM-System, center of mass)
Beobachter ruht im Massenschwerpunkt.

$pCM = m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f = o$
Laborsystem
Der Beobachter ruht im m₂

b ist der sogenannte Impaktparameter.
$pCM = m1v1i = m1v1f + m2v2f$
In Komponenten läßt sich dies schreiben als:
- x-Richtung: m₁v_1i = m₁v_1f cos₁ + m₂v_2f cos₂
- y-Richtung: 0 = -m₂v_2f sin₂ + m₁v_1f sin₁
$Etot = m1v21i = 1m2v22f + 1m1v21f + Q 2 2 2$
Es ergeben sich 3 Gleichungen. Wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, bleiben 2 Unbekannte.