2.4 Rotationen

|--------------------------------------------------------------------------| Kinematik <==> Rotationskinematik- | Bewegungen in 3 Dimensionen (Translationen) Drehbewegungen | Dynamik <==> Rotationsdynamik | Bewegung unter Einfluß von Kr¨aften Drehungen------- | | | | von Massenpunkten, Systemen von Massenpunkten, festen K¨orpern | | | Masse Tr¨agheitsmoment | Kraft Drehmoment | Energie/Arbeit Rotationsenergie/Rotationsarbeit | Impuls Drehimpuls | | | --------------------------------------------------------------------------- kombinierte Dreh-und Translationsbewegung

2.4.1 Rotationskinematik

Jeder Punkt P dreht sich im Kreis mit gleichem Zentrum und gleicher Winkelgeschwindigkeit . Von oben betrachtet:

( { } ) h = 360o .-s-= s in Radian 1rad /\ = 57,3o 2pr r

w = dh-= 1 .ds = v (Kreisfrequenz) dt r dt r

Konstante Drehbewegung: $h(t) = w0t+ h0$
Beschleunigte Bewegung: $h(t) = at2 + w0t+ h0 2$

Richtung der Drehachse:

dh w = dt _L v,r

Für die Bewegungsgleichungen folgt:

( ) r(t) = r . cosh = ru (t) |r|= r = const. sin h r

v(t) = r .w(t).uh(t)

a(t) = r.a .uh(t) - rw2(t)ur(t) --- --- --- --- abTesc(Thalenugnenigtuianl-g) abze(scZehnleturinipegtunalg-)

v = w× r

( ) dr dcosh(t) dh (- sin h(t)) v(t) = dt = r. dsdinth(t) = r. dt-. cosh(t) dt w(t)

2 ( ) ( dsinh(t)) a(t) = dv-= r.d-h2 . - sin h(t) +r .dh- . -dcosdht(t) dt dt cosh(t) dt --dt-- a w

Einschub: Vektorprodukt

Das Vektorprodukt ist folgendermaßen definiert:

a× b = |a|.|b|.sin(a,b).ua×b

Insbesondere gilt:

ex × ex = 0

ex× ey = ez

ey× ex = -ez

( ) ( ) ( ) ax bx aybz- azby a× b = ay × by = azbx- axbz az bz axby- aybx

Ein Beispiel aus der Kinematik ist = ×.

2 a = a× r+ w × v = a × r+ w × (w× r) = a × r- w r

2.4.2 Rotationsdynamik

Trägheitsmoment

$sum M = mi i$

$integral M = dm$

Zu jedem Zeitpunkt gilt:
$1 2 1 2 1 2 1( 2 2 2 2 2 ) Ek = 2 m1v1 + 2m2v2 +...+ 2miv i + ...= 2 m1r 1w + m2r2w + ...+ miriw +... = sum N = 1 mir2iw2 = 1Jw2 2 i 2 --J--$ (2.7)
$N sum integral J = mir2i;J = r2 dm i$

Beispiele:
- Trägheitsmoment eines kreisenden Massenpunktes
  
  $2 J = mr$
- Trägheitsmoment einer Hantel
  
  $J = 2mr2$
- Trägheitsmoment einer Hantel (2)
  
  $J = 4mr2$
- Zylinder
  
  $R R integral 2 integral 2 integral 3 2 R2- R2- J = r dm = r .r.2pr.hdr = r.h.p.2r dr = p.h-.r.R- .2 = M .2 0 0 M$
- Hohlzylinder
  
  $integral R2 prh ( ) J = 2prhr3 dr =---- R42 - R41 R1 2$
  
  $integral R integral 2 ( 2 2) M = rdV = 2prhrdr = pgh R 2- R1 R1$
  
  $|---1---(-------)| ==> J = 2M R21 + R22| ------------------$
  
  Extremfall:
  $R ~~ R = R 2 1$
  
  $J = M R2$
Generell gilt J = ^. M ^. R².
Drehimpuls
Der Impuls berechnet sich nach = m und für den Drehimpuls gilt = J ^.. Für ein Vielteilchensystem folgt außerdem:
$sum p = mivi i$
Impuls und Drehimpuls sind erhalten ohne Einwirkung äußerer Kräfte, denn es gilt:
- Person
  
  Eine Person halte zwei Kugeln mit jeweils m = 2kg im Abstand r_a = 0,8m vom Körper weg und drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit = 3 um ihre eigene Achse. Wir betrachten die Person näherungsweise als Zylinder der Masse M = 50kg und Radius R = 0,14m. Die Kugeln werden aufgrund ihrer verhältnismäßig geringen Größe als Massepunkte behandelt. Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Systems bestehend aus Kugeln und Person:
  $Ja = 1M R2+2.mr2a = 1.50 kg.(0,14m)2+2.2kg.(0,8 m)2 = 0,5kgm2+2, 56kgm2 = 3,06kgm2 2 2$
  Für den Drehimpuls folgt:
  $2 La = Ja .wa = 3,05kgm2 .3 1 ~~ 9,15 kg-.m s s$
  
  $2p wa =--- T$
  Wir erhalten daraus die Periodendauer T:
  $2p 2p T = wa = 3 1- ~~ 2,10s s$
  Nun werde der Abstand der Kugeln auf r_b = 0,2m verkleinert, indem die Person die Arme an den Körper heranzieht. Damit ergibt sich:
  $1 2 2 2 2 2 Jb = 2M R + 2mr b = 0,5 kgm + 2 .2kg.(0,2m) = 0,66 kgm$
  
  $Lb = Jb .wb = 0,66kgm2 .wb$
  Aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses L gilt:
  $w = w .Ja-= 3,06-s.w = 4,64 .w b a Jb 0,66 s a a$
  
  $T ~~ 2,10s = 0,45 s 4,64$
  Die Person dreht sich also schneller als vorher.
- Das FOUCAULT-Pendel
  
  $ws = w .sin h$
  In Karlsruhe gilt _s 28h.
Zu Rotationskinematik:
$dh- w = dt ist Vektor.$

$h nicht, da nicht immer h1 + h2 = h2 + h1$
Drehmoment $Kraft: F = m .a <==> Drehmoment: M =_ r× F = Ja$

$|| || FT = F .sinf$

$| | | | |M |= |r× F |= r.F sinf = r .FT$
Es ist M = 0, wenn = 0 gilt.

$FTi = mi .aTi$

$FTi = mi .a.ri$
= ist die Winkelbeschleunigung.
$2 Mi = ri .FTi = miria$

$sum 2 M = miria = J .a i$

Demonstration:
- Beschleunigung der Drehung eines Rades
  
  $M = r× F = J .a$
  
  $mg - F = m .a$
  Daraus folgt durch die Zerlegung in Komponenten:
  $M = r .F = J .a$
  
  $mg - F = m .a$
  Auch gilt = und somit haben wir:
  $J- mg - r2a = m .a$
  
  $(i) a =---g--- 1 + mJr2$
  Wir führen einen Check mit Extremfällen durch:
  $m '--> oo : a = g$
  
  $m '--> 0 : a = 0$
  
  $J '--> oo : a = 0$
  
  $J '--> 0 : a = g$
  
  $g (ii) a =---r-J- 1 + mr2$
  
  $mgr F¨ur J » mr2 : a ~~ ---- J$
  
  $d2h Mit a =-dt2$
  
  $h(t) = at2 ~~ mgr-t2 2 2J$
  
  Demonstration:
  - 4 Umdrehungen: $t4 = 11,5s f¨ur Masse m$
  - 8 Umdrehungen: $t8 = 11,0s f¨ur Masse 2m$
  $gr-2 4.2p = m .2J t4 } ==> t4 = t8 8.2p = 2m .gr-t28 2J$
- Drehschwingungen
  
  Es gilt das Hookesche Gesetz:
  $2 M = - D .h = J .a = J .d-h2 dt$
  
  $d2h ==> J .--2 = -D .h dt$
  Wir verwenden folgenden Ansatz
  $h(t) = h0 .cos(wt+ f)$
  Durch Einsetzen folgt:
  $-J .h0 .w2cos(wt+ f) = - D .h0 .cos(wt + f)$
  
  $V~ --- ==> w = D- J$
  
  $V~ --- 2p J 2 ==> T = w--= 2p D-mit J ~~ 2mr$
  
  $==> T1 ~~ r1 T2 r2$

Arbeit, Energie

Lineare Arbeit:		Rotationsarbeit:
A = _₁^₂d E_p, E_k
		dA = ^. d = F ^. r ^. d
		A = F ^. r d = ^. d

Für resultierende Drehmomente:

M = J .a /= 0

integral integral integral dw integral M dh = J .a.dh = J .---.dh = J .w.dw dt

integral A = J .wdw = 1Jw2 - 1Jw2 = DE 2 2 2 1 rot

Allgemein gilt:

Etot = Ep + Ek + Er + Eint = const.

2.4.3 Rotierende Bezugssysteme

Zentripetalkraft $FZP = FZug + mg = m .aZP (FZP /\ = Zentripetalkraft)$
Zentrifugalkraft $FZF + FZug + mg = o$

$FZF = m .w ×(r ×w)$
Corioliskraft
- Außen:
  
  $sum Fi = o i$
- Innen:
  
  $F = 2m (v'× w) C$

Gegenüberstellung: Lineare Bewegung - Rotationsbewegung

|-------------|---------------| |Translationen-|Drehbewegungen-| |s |f | |v |w | |a |a | |F |M = r × F | |p |L = r× p | |F = m .a |M = J .a | |Ekin = 1mv2 |Erot = 1Jw2 | --------2------------2--------|

2.4.4 Rollen

Rollen: Kombination aus Translation und Drehung
- Über Energieerhaltung $1 1 Etot = m .g .h = mv2 + m .g.y+ - Jw2 2 2$
  Wie hängen v und zusammen? Mit = erhält man die Geschwindigkeit am niedrigsten Punkt:
  $1 2 1 2 1( J ) 2 Etot = 2mv f + 2Jwf = 2 m + R2- vf$
  
  $--------- vf = ---2gh-- 1 + -J-- V~ mR2- k$
  Für runde Objekte gilt J = ^. mR². lautet für folgende spezielle geometrische Objekte:
  $|----------------|--| -Objekt-----------k- |Kugel-----------|2-| | |5 | |massiver Zylinder|1 | | |2 | |Ring |1 | | | | |Massenpunkt |0 | --------------------$
- Auf andere Weise
  - _H: Haftreibung greift an Peripherie an.
  - _N: Normalkraft
  - m ^.: Gewichtskraft
  $sum F = F + f + m .g = m .a i i N H$
  
  $sum M = r× f = J .a i i H$
  Betrachten wir das ganzen in Komponenten:
  - x-Richtung: $- fH + mg sinh = m .a$
  - y-Richtung: $FN -mg cosh = 0$
  - z-Richtung: $(- fH).(-R) = J .a$
  Es liegt eine kombinierte Bewegung vor: = .
  $fH = mg sin h- ma } ( J ) gsin h = a . 1+ mR2- fH = J.Ra = JR.a2-$
  
  $|----------| | g-.sinh | ==> a-=--1+-k---$
  
  $x = at2 + v0t+ x0 2$
Jojo ( MAXWELLsches Rad)
- Energieerhaltung beim Jojo $Etot = m .g.h = 1mv2f + 1Jw2f 2 2$
  
  $Mit w = v-erh alt man: R ¨$
  
  $V~ ----- vf = -2gh- 1+ k$
- Drehmomente beim Jojo $sum Mi = r × FZug = J .a i$
  
  $mg + FZug = ma$
  In Komponenten zerlegen:
  $g /\ /\ ==> a = 1-+-k.r2-(r = ¨außerer Radius,R = innerer Radius) R2$
Bowling
- E_tot ist nicht erhalten wegen Reibung.
- _g = m ^.; m ^. = ma $M = r× fg$
  
  $==> r.fG = J .a = J .w1--w0-= J .-v1- Dt r.Dt$
  
  $v1- v0 v1 ==> M = m .--Dt-- .r = J .r.Dt-$
  
  $==> v = --v0---; Kugel: k = 2 1 1+ -J-- 5 mr2- k$
  
  $==> v1 = v0 .5 7$
  Unabhängigkeit von Reibungskraft!

Erhaltung des Drehimpulses:

L = r× p

dL d d d -dt = dt (r× p) = dtr × p+ r× dtp = v×-m-.v +r-× F 0 M

dL-= M f¨ur M = o : L erhalten! dt

Kreisel mit Drehmoment:

dL M = R× Fg = J .a = dt-

L = Jw

Was ist J? ist nicht notwendig parallel zu !

Beispiel: Nutation eines kräftefreien Kreisels

J ist eine Matrix (3 × 3).

J ==> J

Zusammenfassung:

Keine äußeren Drehmomente $L = J .w = const.$

$dL- dt = o$
Mit äußerem Drehmoment
- Fall 1:
  
  $dL M = r ×F = J .a = dt-$
  Es gilt:
  $dL -dt|| L$
- Fall 2:
  
  $M = R × F = J .a = dL dt$
  
  $|-------| |dL- _L L| --dt----|$
  Die sogenannte Präzessionsfrequenz errechnet sich nach:
  $|---------------------| | ||dL-|| | |w = |dt|= M--= -F-.l | | P |L| L J .w | -----------------------$