3.2 Das Gravitationspotential

RE integral +h RE integral +h ( ) A = DEp = F dr = GmEm-- dr = GmEm -1- - --1---- = GmEm-- .--h--- ~~ GmE-h (h« RE) r2 RE RE + h RE RE + h R2E RE RE g

integral oo A oo = F dr = GmEm- = Ep( oo ) - Ep(RE) RE RE

Es ist Konvention, das Nullniveau ins Unendliche zu legen:

|E-( oo )-=-0 --p--------

Damit gilt für das Gravitationspotential für r > R_E:

|---------------| | GmEm | |Ep(r) = ----r-- | -----------------

Fluchtgeschwindigkeit von Erde $1 Gm m Etot = Ek + Ep = 0 = Ep (r = oo ) =-mv2esc---E-- = 0 2 RE$
Damit folgt für die Fluchtgeschwindigkeit:
$V~ ------ GmE-- -km vesc = 2 RE = 11,2 s$
Gibt es Objekte, wo v_esc > c?
Ja, man nennt diese Schwarze Löcher. Mit v_esc = = c erhält man den Schwarzschild-Radius:
$|-----------| | 2GM | |RS = --c2- | ------------$
Der Schwarzschild-Radius ist der Grenzradius, den ein Objekt erreichen muss, damit an seiner Oberfläche die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Er stellt somit die Grenze zum Schwarzen Loch dar.
- Beispiel: Sonne
  
  Für die Sonne gilt R = 7 ^. 10⁵ km und M = 2 ^. 10³⁰ kg. Damit folgt für den Schwarzschild-Radius:
  $2GM 2.6,673.10-11 N.m22 .2.1030kg RS = --2--= --------(-----kgm)2--------- ~~ 3 km c 3 .108 s-$
- Neutronensterne
  
  Der Radius eines Neutronensterns beträgt 10 bis 16 km. Mit M $= /\$ M folgt ein Schwarzschild-Radius von 3 km.
- Schwarzes Loch
  
  $R = RS ~~ 10 km,M > 2Mo .$
Beispiel für Nachweis von Schwarzen Löchern:

Gase werden ionisiert, beschleunigt durch die Gravitation. Somit entsteht -Strahlung. Auch schwarze Löcher sind oft Überbleibsel von Supernova-Explosionen.