5.1 Induktion

Die Versuche von FARADAY (1831) haben gezeigt, da die zeitliche Vernderung eines Magnetfeldes (besser: magnetischen Flusses) Strme in einem Leiter induzieren.

Mit Permanentmagnet:
Mit Elektromagnet:

Interpretation:

Ein zeitlich vernderlicher Flu erzeugt ein elektrisches Feld. Mit _m = _Ad folgt das Induktionsgesetz:

|---------------------| | gf dfm | |Uind = E ds = --dt- | ----------------------

Die LENZsche Regel:

Die Induktionsspannung und der Strom, den diese hervorruft, sind stets so gerichtet, da sie ihrer Ursache entgegenwirken.

Illustration:

Bewegung einer Schleife im -Feld:

Die Elektronen werden durch die LORENTZkraft zu einem Strom beschleunigt. Die LORENTZkraft entspricht einer effektiven elektrostatischen Kraft:

F = - ev× B = - eE

Der magnetische Flu _m folgt aus der allgemeinen Beziehung:

fm = B .A = B .l.x

Df = B .DA = B .l.Dx = B .l.v.Dt m

Damit folgt:

U = E .l = v .B .l

dfm-= - Blv = - Uind dt

Das Minuszeichen kommt daher, weil der Flu abnimmt.

Demonstration, Anwendung:

Wirbelstrme
- Versuch 1:
  
  Wegen des Innenwiderstands wird I verringert, so da kleiner wird.
- Versuch 2:
Generatoren

$f = N .B .A = N .B .A.cosh = N--.B-.A-.sin(wt-+-d)-| m --------------------$
Somit folgt fr die induzierte Spannung:
$dfm- |-------------| Uind = - dt = +N .B .A .w sin(wt+ d) =-U0 .sin(wt-+-d)$
Dieses Prinzip wird bei der Wechselspannungserzeugung eingesetzt.

5.1.1 Induktionsgesetz

gf integral E ds = U = - df-= --d B dA ind dt dt P A

Mit dem STOKESschen Satz ergibt sich dann:

integral -d integral rotE dA = -dt B dA A A

Damit ergibt sich:

|------------| rotE = --dB | --------dt----

5.1.2 Induktivitt

f12 /\ = Magnetischer Flu von Schleife 1 durch Schleife 2

integral f12 = B1 dA2 oc I1 =_ L12I1 A 2

Wir fhren die Induktivitt L als Gre ein. Diese hat folgende Einheit:

[L ] = Vs- =_ 1H 12 A

Mit ₁₂ = _A₂₁ d₂ = _A₂ |_ integral _|
|_ m I1dl1×-r12 _|
0 4pr312
P1 d₂ erhalten wir fr die Induktivitt:

|----- integral - integral -------------| L12 = m0 dl1-×r12dA2 | | 4pr312 | -----A2-P1---------------

Beispiele:

2 konzentrische Leiterkreise:

$m0I1 dl× r dB = -4p- .--r3--$

$2 Bz = m0I1-.2pR31 4p R 1$
Fr R₁ » R₂ gilt r₁₂ = r. Dann erhlt man fr den Flu:
$f = B .A = m0-I1-.pR2 12 z z 2 R1 2$
Damit gilt schlielich fr die Induktivitt:
$-------------- | p R2 | L12 = -m0--2 | ------2--R1---$
2 Spulen:

$B = m0N1-I1 l1$
Fr I₁ = I₁(t) gilt:
$Uind = -N2 .A2 .dB-= - m0N1N2-A2 dI1- dt l1 dt$
Daraus folgt die Induktivitt:
$|---------------| | N1N2 | |L12 = m0-l1-A2 | -----------------$
Wir erhalten also folgenden sehr wichtigen Zusammenhang zwischen der zeitlichen nderung des Flusses und des elektrischen Stromes:
$|-----------| |df-= L .dI-| -dt------dt-|$
1 Spule: $L = L = m N2-.A = m .n2 .l.A mit n = N 12 0 l 0 l$

Dies ist die sogenannte Selbstinduktivitt einer Spule. Allgemein gilt:
$|--------------2-----------------------------| L12 = L = m0mr N-.A = m0mr .n2 .l.A mit n = N| ---------------l---------------------------l--$

Anwendungen:
Wir betrachten folgenden Stromkreis mit Widerstand und Spule:
- Einschaltvorgang: $dI- Uind = L dt$
  Mittels der Maschenregel folgt:
  $U0 = UR + Uind$
  Wir erhalten also folgende Differentialgleichung:
  $U0 = R .I(t)+ LdI dt$
  Die Lsung erhalten wir mit folgendem Ansatz:
  $I(t) = I0 + I1exp(- a.t)$
  Durch Einsetzen resultiert dann fr den zeitlichen Verlauf des Stroms:
  $|---------(-------(-----))--| |I(t) = U0- 1- exp - R-.t | -------R-------------L------|$
- Entladevorgang:
  
  $- LdI-= R .I mit U0 = 0 dt$
  
  $|---------------------| | U0 ( R ) | |I(t) = R--exp - L-.t | ----------------------$
  Wir veranschaulichen das Verhalten graphisch: