6.1 Die Maxwellgleichungen und ihre Lsung im Vakuum

6.1 Die MAXWELLgleichungen und ihre Lsung im Vakuum

Im Vakuum gilt natrlich = 0 und = . Wir betrachten als Ausgangspunkt das System der MAXWELL-Gleichungen:

$\~/$ = 0
$\~/$ = 0
$\~/$ × + = 0
$\~/$ × - = 0

Wir bilden nun jeweils die Rotation der dritten Gleichung:

( ) @B- \~/ × \~/ × E + \~/ × @t = 0

Nun folgt durch Auflsen des doppelten Kreuzproduktes und mit der ersten und vierten MAXWELL-Gleichung:

( ) @ 1 @ \~/ \ ~/ E - \~/ 2E +--2 --E = 0 -- -- @tc @t 0

Somit gilt:

2 -1-@2 \~/ E - c2@t2E = 0

Damit ergibt sich also die Wellengleichung fr das elektrische Feld :

|-------------| |DE = 1-@2-E | -------c2@t2--|

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum berechnet sich folgendermaen:

c = V~ -1- m0e0

In Medien folgt mit der entsprechenden Dielektrizittszahl _r und der Permeabilittszahl _r:

1 v = V~ m-m-e-e 0 r 0 r

Im Vakuum gilt also v = c. Die Wellengleichung des magnetischen Feldes folgt analog:

|-------------| | 1 @2 | |DB = -2--2B | -------c-@t---

6.1.1 Spezielle Lsung: Ebene Welle in x-Richtung

Wir man durch Einsetzen in die Wellengleichungen berprfen kann, stellt folgende Funktion fr B_x = B_y = E_x = E_z = 0 eine Lsung dar:

|----------------------------------| | k 1 | Bz(x,t) = E0 w sin(kx- wt) = c Ey(x,t) ------------------------------------

Die zugehrige Dispersionsrelation lautet:

|------| |k 1 | |w-= c | -------

Damit folgt also:

( 0 ) B(x, t) = 0 1E sin(kx - wt) c 0

( ) 0 E(r,t) = E0sin(kx - wt) 0

Die Vektoren des elektrischen und magnetischen Feldes stehen somit senkrecht aufeinander:

B .E = 0

( ) k- E2- E × B = E × w × E = w k

Der Vektor senkrecht auf und zeigt somit in Richtung des Ausbreitungsvektors der elektromagnetischen Welle. Speziell gilt fr unser Beispiel:

( ) ( ) (1 2 2 ) 0 0 cE 0 sin (kx -wt) E × B = E0 sin(kx- wt) × E0 0 = 0 0 c sin(kx - wt) 0

6.1.2 Energie, Intensitt einer elektromagnetischen Welle

Energiedichte des elektrischen Feldes: $w = 1e E2 el 2 0$
Energiedichte des magnetischen Feldes: $-1- 2 wmag = 2m0B$

Man kann zeigen, da die beiden Energiedichten gleich gro sind:

( 2) wmag = -1-B2 = -1- E2- = -1-2E2 = 1e0E2 = wel 2m0 2m0 c 2m0c 2

Gesamtenergie:

Diese folgt durch Addition der beiden Energiedichten:

|-------| 1 ||E |.|B || w = wel + wmag = e0E2 =--B2 = |-------| m0 ---m0c---

Intensitt einer elektromagnetischen Welle:

Wir definieren:

/\ Mittlere-Leistung -Energie-- I= Flcheneinheit = Flche.Zeit

Mit der zuvor berechneten Energiedichte w erhalten wir:

I = w.c = |E|.|B-| 0 m0

Fr die zeitlich gemittelte Intensitt folgt:

<I> =_ I = <w>.c

Beispiel:

Wir berechnen diese Gren speziell fr folgende Felder:

( 0 ) E(x,t) = E sin(kx - wt) 0 0

( 0 ) B(x,t) = 0 E0sin(kx - wt) c

Fr die Energiedichte erhalten wir:

|E-|.|B-| E0-.B0 2 w = m0c = m0c sin (kx- wt)

Wir wollen diese Gre zeitlich mitteln. Dazu mitteln wir die quadratische Sinusfunktion ber volle Perioden hinweg, womit folgt:

integral pw sin2(kx- wt) dt 1p- 0-------p--------= -2pw = 1 w w 2

Der Mittelungsfaktor ist also gleich . Damit gilt also:

<w > = E0B0-.1 = Eeff .Beff mit Eeff = V~ E0 und Beff = B V~ 0 m0c 2 m0c 2 2

Fr die zeitlich gemittelte Intensitt folgt:

I = <w >.c = Eeff .Beff m0

Auerdem definieren wir den sogenannten Poynting-Vektor (Intensittsvektor):

|----------| | E × B | S =_ --m0-- | -----------

Speziell fr unser Beispiel gilt:

( -1- 2 2 ) m0cE0 sin(kx - wt) S = 0 0

Der Poynting-Vektor zeigt also die Richtung des Energieflusses an, whrend der Betrag dessen Gre angibt.

6.1.3 Impuls von elektromagnetischen Wellen

Fr die Kraft des elektrischen Feldes auf die Ladung q ergibt sich:

dv FE = q.E(x,t) = m .-dt

Damit folgt fr die Geschwindigkeit der Ladung:

v = vy .ey = q.E-t = q|E|tey m m

vy = q.|E-|.t m

Darber hinaus resultiert fr die Kraft des magnetischen Feldes auf die Ladung q:

Fb = q.v× B(x, t)

|E |.|B | Fx = q.vy .|B-|= q2 .-m----.t immer >0

Mit dem zweiten NEWTONschen Axiom = folgt natrlich durch Integration:

integral t p = F dt 0

Hier gilt nun:

integral t integral t q2| E |.|B | 1 E| |.|B | 1 E2 px = Fx dt'= ---m----t'dt'= 2q2 .--m---t2 = 2q2 .mc-.t2 0 0

Vergleiche mit Energie der Ladung:

1 2 1 e2E2-2 1 q2E2- 2 vx « vy : Ekin ~~ 2mv y = 2 m . m2 t = 2 . m .t =_ W

|--------| W--=-p.c--

Dabei handelt es sich also um den Zusammenhang zwischen Impuls und Energie des elektromagnetischen Feldes. Infolge des Impulses der elektromagnetischen Welle ergibt sich folgender Strahlungsdruck P_S:

PS = I = E0B0- = EEff-.BEff-- c 2m0c m0c

Motivation:

Intensitt = -Energie--= Impuls-.c-= Kraft.--c--= Druck .c Flche .Zeit Zeit .Flche Flche

Flche:

Elektromagnetische Welle wird absorbiert $P=W-- c$
Damit ergibt sich folgender Strahlungsdruck:
$|-------| |PS = I | ------c-|$
Elektromagnetische Welle wird reflektiert $W P = 2.-c-$

$|---------| |PS = 2.I | --------c-|$