2.1 Das elektrische Feld und sein Potential

2.1.1 Das COULOMBgesetz

CHARLES COULOMB (1736-1806):

Untersuchungen mit Drehwaage: ___________________________

\text{[math]}

Elektromagnetische Kraft zwischen Q₁,Q₂ im Gleichgewicht mit Rckstellkraft des Torsionsfadens.

Befund:

} F12 oc Q1 F oc Q .Q (Superpositionsprinzip) F12 oc Q2 12 1 2

Illustration:

Nimm 2 Korkkgelchen und fhre folgendes Experiment durch:

Teil 1:
Teil 2:
Teil 3:
Teil 4:

Dann ergibt sich schlielich fr die Kraft F₁₂' zwischen den neuen Ladungen:

' 1 F 12 = 4F12

Daraus ergibt sich dann folgende Proportionalitt:

F12 oc Q1 .Q2

COULOMBgesetz:

F = -1--.Q1Q2- .e 12 4pe0 r2 12

Nach dem 3.NEWTONschen Axiom ist die Kraft genauso gro wie deren Gegenkraft:

F12 = -F21

Wenn Q₁ positiv ist, dann ist Q₂ negativ.

F12 = --1--.|Q1-|.|Q2-|.e12 4pe0 r2

r e12 = |r|

/\ e0 = Elektrische Feldkonstante

C2 As e0 = 8,85.10-12 N.m2- =_ 8,85 .10-12Vm-

Vergleich von COULOMB- und Gravitationskraft:

m1m2-- Gravitation: F12 = -G r2 e12

|| || --1- Q1Q2 ==> |FC-|= 4pe0 .-r2--= --1--.Q1Q2-- ~~ 1036 fr 2 Protonen (!) |FG | G .m1mr22- 4pe0G m1m2

Die Natur ist elektrisch neutral.

Illustration:

Gravitationskraft:

-1-- F12 ~~ 1000 N

Wenn alle Mnner 1% mehr Elektronen als Protonen, alle Frauen 1% mehr Protonen als Elektronen htten ...

2.1.2 Krfte verteilter Ladungen auf eine Probeladung

COULOMBgesetz: Kraft zwischen zwei punktfrmigen Ladungen $|-----------------| |F (r) =-1--Q-.qer| --------4pe0--r2----$
Kraft von N Ladungen q_i auf Punktladung q $|---------N-------| |F = -q-- sum qiri-| | 4pe0i=1 r2i |ri|| -------------------$

(Superpositionsprinzip)
Kraft durch kontinuierliche Ladungsverteilung:
Diese Ladungsverteilung beinhaltet praktisch unendlich viele Ladungen, deren einzelnen Werte gegen 0 gehen:
$Qi '--> 0,N '--> oo$

Wir fhren die Ladungsdichte ein.
$r = lim DQ--= dQ-,[r] =-C3 DV'-->0 DV dV m$

$dQ = dV .r(r)$
Demnach berechnet sich die Kraft durch den folgenden Grenzbergang:
$sum N N sum |----- integral ----------------| F (R) = lim --q- DQi.R-----ri-= lim --q- r.DVi.R----ri-= |--q- -R---r-.r (r) d3r | DQNi'-->'-->o0 o 4pe0 i=1 |R - ri| 3 DNV'i-->'--> oo 04pe0 i=1 |R - ri| 3 |4pe0V |R- r|3 | ------------------------|$
Die Summe geht also hierbei in ein Volumenintegral ber. Fr die Gesamtladung selbst folgt durch Integration ber die Ladungsdichte:
$|--- integral --------| | 3 | Q = r(r) d r ----V----------$
Kraft einer Flchenladungsverteilung
Hier arbeiten wir mit der sogenannten Flchenladungsdichte, welche folgendermaen definiert ist:
$DQ dQ C s = DliAm'-->0 DA--= dA-,[s] = m2-$

$|---------------------------| | q integral R - r | F (R) = ---- -----3-s(r) d2r | 4pe0 A |r- r| | -----------------------------$

Die Gesamtladung berechnet sich durch Integration ber die Flche:
$|--- integral --------| | 2 | Q = s(r) d r ----A----------$
Kraft einer eindimensionalen Ladungsverteilung $|----------- integral --------------| |F (r) =-q-- -R---r-c (r) ds| | 4pe0 P |R - r| 3 | -----------------------------$

Beispiel:

Wir berechnen die Kraft einer unendlich groen flachen Platte mit homogener Ladungsverteilung auf q:

dQ = s .dA

-q-- -s-dA-- --q- s-dA- dF = 4pe0 .|R- r|2 .eF = 4pe0 .-R22-.eF cos a

Die horizontale Komponente von d mittelt sich aufgrund der Rotationssymmetrie weg, es verbleibt nur die vertikale Komponente dF.

dF = -q---sdA-.cosa _L 4pe0 coRs22a-

Gesamtkraft vom Ringelement:

dFR = --q- s.2pr-drcos3a 4pe0 R2

Mit r = R ^. tan folgt:

dr R da-= cos2a

dFR = -q--s-.2p2-.R .tana .--R2- .da.cos3a = -q-s.sinada 4pe0 R cos a 2e0

Gesamtkraft auf q:

integral p2 q.s- F = dFR = 2e0 0

Sie ist somit unabhngig vom Abstand R.

2.1.3 Das elektrische Feld

|-----------| | F (r)| E (r) =_ --q--| -------------

Die elektrische Feldstrke ist also definiert als Kraft einer Ladungsverteilung auf q, dividiert durch q.

N- V- [E] = C = m

Punktladung:

1 Q r E (r) = 4pe-r2 |r| 0

Beispiele:

Interplanetarischer Raum: 10^-3
Zndung in trockener Luft bei 3 ^. 10⁶
VAN DER GRAAF Generator: bis 10⁶
In Atomen: 10⁹
In Kernen: 5 ^. 10²⁰

2.1.4 Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld

Bewegt sich eine Ladung in einem elektrischen Feld, so erfhrt diese eine Kraft und wird infolgedessen beschleunigt. Nach NEWTON gilt somit:

a = F- m

Mit = q ^. folgt hier:

q.E- a = m

Beispiel: Beschleunigung im homogenen Feld

Ladung am Anfang ruhend; Beispiel: Elektron

$F = e .E = m - .a = const. e$
Die Beschleunigung sei konstant.
$a = -eE- me-$

$eE x(t) = -----t2 2me$

$v(t) = eE--t me-$
Nach Durchlaufen der Strecke L hat das Elektron somit die Geschwindigkeit:
$V~ ------ v = 2eE-L me -$

Beispiel: Beschleunigung durch Feld einer Batterie

$L = 1cm$

$4,5V V ( N ) E = -cm-- = 450m- = 450C-$

$V~ --------------------------- 1,6.10-19C-.450 NC - 2 6 m v = 2. 9.10-31kg .10 m ~~ 1,3.10 s$
Bewegung senkrecht zum Feld

Fr die Beschleunigung ergibt sich hier vektoriell, da die beschleunigende Kraft nur in Richtung der y-Achse wirkt:
$( 0 ) a = -eE- me0-$
Die Geschwindigkeit v(t) und der zurckgelegte Weg s(t) folgt durch Integration:
$( v0 ) v(t) = meE-t e0-$

$( v0t ) r(t) = 2emE-t2 e0$
Daraus resultiert die Bahnkurve:
$|-------------| | eE 2 | |y = 2me-v2x | ----------0---$

2.1.5 Der GAUsche Satz

Betrachtung des Feldes als Flu:

Der Flu durch das Flchenelement d (Flchennormale fr dA) ist folgendermaen definiert:

|-------------| | integral | f =_ E (r) dA| ---------------

Wir unterscheiden dabei folgende Flle:

|| = const., ||: $EdA = E dA$
Somit folgt fr :
$f = E .A$
|| = const., /||: $E dA = |E|.|dA |.cosa$

Fr = 90^o ergibt sich = 0.
COULOMBfeld, Flu durch Kugelflche im Abstand R:

$integral integral integral f = E(R) dA = --Q---- eRdA = ---Q--- dA = -Q 4pe0R2 4pe0R2 e0 O O O$

Hier sei folgender Hinweis gegeben:
$integral integral 2p integral p dA = R2 sinhdh df = 4pR2 O 0 0$

GAUscher Satz:

Flu aus beliebiger geschlossener Flche ist proportional zur umschlossenen Ladung Q, unabhngig von der Ladungsverteilung.

Bemerkung:

Der GAUsche Satz gilt fr alle Felder mit einem

Abstandsverhalten.

Illustration:

Df = const.

Der Flu durch eine Teilflche ist bei konstantem ffnungswinkel unabhngig vom Abstand, daher gilt ₁ = ₂ = ... = _i.

Anwendung:

Bestimme elektrisches Feld auerhalb und innerhalb einer positiv geladenen Kugelflche.
Lsung:
- Auen:
  
  Definiere geschlossene Oberflche (GAUsche Flche)
  $Q integral integral e-= E dA = E dA = E .4pr2 0 O 0$
  
  $==> E = --Q--- 4pe0r2$
- Innen: $r < R :$
  
  $integral GAU: 0 = E dA = 4pr2E$
  Das elektrische Feld ist im Innern somit gleich 0:
  $E = 0$
Demonstration:
Elektrische Felder verschwinden innerhalb von leitenden Materialien.

Die Ladungen sind beweglich und stoen sich somit ab.

Dies ist der bekannte Faraday-Effekt.

Demo: Ladungstransport

2.1.6 Spannung und Potential

Wird Ladung im elektrischen Feld verschoben, wird Arbeit geleistet, die zur nderung der potentiellen bzw. kinetischen Energie fhrt.

Nomenklatur:

Arbeit: A, W
Potential: , V
Kinetische Energie: K, T, E_kin
Potentielle Energie: U, E_pot
Spannung: U

Arbeit:

Die Arbeit ist allgemein definiert als Produkt aus Kraft und Weg:
$Arbeit =_ Kraft× Weg$

$integral W = F ds$

$W = F .s = F .s.cosa$
Wenn = 90^o ist die geleistete Arbeit W gleich 0. Arbeit wird durch eine Kraft geleistet, die auf ein Teilchen in Bewegung ausgebt wird. Wir veranschaulichen diesen Sachverhalt mit einem Beispiel aus der Mechanik:

$integral W = F ds = F .(y2- y1)$
Falls |F| = m^.g ist W = mg(y₂-y₁) die Arbeit, welche durch F geleistet wird. Die Arbeit durch die Erdanziehungskraft ist beispielsweise gegeben durch:
$WG = F .(y2 -y1) = -mg(y2 - y1)$
Kinetische Energie:
Fhrt eine Kraft zu einer Beschleunigung (oder auch Abbremsung), so ndert sich die kinetische Energie (Bewegungsenergie) des Teilchens, auf das die Kraft ausgebt wird.

$integral 2 integral 2 ( ) W = m dvds = m .v dv = 1 m v22 - v12 = DEkin 1 dt 1 2$
Potentielle Energie:
Wirkt arbeitende Kraft in einem Feld, so ndert sich die potentielle Energie des Teilchens.

$integral 2 W12 = F ds = Ep (r2)- Ep (r1) = DEp 1$

Beispiel: Homogenes Gravitationsfeld

DE = mg(Dy) p

Ep(y1) = mgy1

Ep(y2) = mgy2

Im geschlossenen System (keine externen (resultierenden) Krfte) gilt:

Etot = Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

==> DEtot = DEk + DEp = 0

Die ist die einfachste Form des Energieerhaltungssatzes.

Konservative Kraftfelder:

integral 2 integral 1 W = F ds = - F ds 12 1 2

Die geleistete Arbeit ist wegunabhngig, wenn das Integral ber einen geschlossenen Weg (Ringintegral) verschwindet:

gf --------| | F ds = 0 -----------

Ein Kraftfeld ist dann konservativ, wenn es eine Funktion V gibt, so da sich die Kraft als Gradient dieser Funktion V schreiben lt:

F = - \~/ V

( @@x) \~/ =_ Gradient =_ @@y -@ @z

Beweis:

gf gf ( @ @ @ ) \~/ V ds = --V dx + --V dy+ --V dz = [V ]xx11 + [V]yy11 + [V ]zz11 = 0 @x @y @z

Elektromagnetische Felder:

Das elektrostatische Feld bt eine Kraft auf eine Ladung q aus und leistet Arbeit, wenn q sich bewegt.

integral 2 W = +q E ds = DEp 1

Spezialfall: COULOMBfeld

---------------- integral 2 integral r2 Qq r integral 2 Qq |Qq ( 1 1 ) | W12 = +q E ds = + ----2erds = + -----2 dr =|---- --- -- |(da er||E und er|| ds) 1 r1 4pe0r r1 4pe0r -4pe0--r1---r2---

Insbesondere gilt:

gf qE ds = 0

Weg von 2 nach 3:
Entlang dieses Weges gilt r = const. d steht somit senkrecht auf dem Vektor des elektrischen Feldes . Damit ist also die geleistete Arbeit W₂₃ gleich 0:
$integral 3 |-| W23 = q Eds = 0-- 2$
Weg von 3 nach 4 (bzw. 4 nach 3):
Hier ist also d parallel zum -Vektor. Die geleistete Arbeit ist hier im Gegensatz zum ersten Fall nicht 0, sondern betrgt:
$|---------------| integral 4 | Qq ( 1 1 ) | W34 = +q E ds =|4pe- r- - r- = - W12 3 ----0---2----1--$
Weg von 4 nach 1: $|-| W41 = -0-$

Auch allgemein gilt:

gf Eds = 0

P wird in Elemente senkrecht und parallel zum Vektor des elektrischen Feldes aufgeteilt.

Fr d ist W = 0,
Ist d ||, so gilt W0:

qQ [( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )] W = 4pe- r-- r- + r- - r- + ...+ r-- r- = 0 0 1 2 2 3 N 1

COULOMBpotential: $|-----------| V (r) =--Q--| -------4pe0r-$
Potentielle Energie: $Qq Ep(r) =----- 4pe0r$

Beispiel:

Wir betrachten das elektrische Potential auf der Oberflche eine Goldatomkerns:

Fr das Goldatom gilt Z = 79, es besitzt also 79 Protonen. Des weiteren betrgt der Radius R etwa 6,6 ^. 10^-15 m. Damit folgt also:

--1--- V = 4pe0R .Q

Q = 79.e = 79.1,6.10-19C

19 VR = ---------79.1,6.C120--C---------- ~~ 1,7.107V 4p.8,854.10-12N.m2 .6,6 .10-15m

Einheiten:

1C =_ 1As

1J = 1 Nm

1W = 1 J =_ 1VA s

|-----------| | Nm | |1V = 1 -C--| ------------

Dies ist die Einheit fr das Potential.

Anwendung: Beschleunigung im elektrischen Potential

DEk = -DEp

1 2 Ek = e .DVp = e.4,5V = 2me -v

V~ --------- V~ ------- e.DVp- e.U- ==> v = 2 . me- = 2 .me-

Eine weitere wichtige Gre ist die Spannung U = V . Insbesondere gilt:
1eV ist die Differenz an kinetischer Energie einer Elementarladung nach Durchlaufen einer Spannung von 1 V.

quipotentialflchen:

Flchen mit V =const.

\text{[math]}

Wird eine Probeladung q lngs einer quipotentialflche bewegt, findet hier keine Energienderung statt.

2.1.7 Divergenz des elektrischen Feldes

Erinnerung
Integrale Form:

$|-----------------------| | integral r2 | |V(r ) = - E ds+ V (r )| | 2 1 | ----------r1-------------$
Physikalisch relevant ist die Potentialdifferenz. Im geschlossenen System gilt:
$DEk +DEp /\ = DEk + q.DV = 0$
Da eine Integralgleichung schwerer zu lsen ist, notieren wir uns die differentielle Form:
Differentielle Form:
$( ) x2 y2 integral r2 z integral 2 DV = - E ds = - (Ex dx+ Ey dy+ Ez dz) r ( ) 1 x1 y2 z2$
Fr x₁x₂ folgt nun:
$DVx = -ExDx (Dx = x2- x1)$

$DVy = -EyDy$

$DVz = -EzDz$

$Ex = - @V- @x @V } /\ Ey = - --- E = - \~/ V \~/ = Gradient @y @V Ez = - @z-$

$( @-) @@x Nabla \~/ @@y @z$
Fr Skalare ist dies der Gradient, fr Vektoren die sogenannte Divergenz.
1.MAXWELLsche Gleichung in integraler Form (GAUscher Satz) $gf E dA = 1-Q e0 A$

$gf gf gf E dA = E dA + E dA A A1 A2$
Jetzt unterteilen wir das Volumen in infinitesimal kleine Wrfelchen:
$( ) sum gf integral 1 integral E dA = dV DlVimi'-->0DVi- EdA iAi V Ai$

Wir berechnen den Flu durch die sechs Flchen des Wrfels. Fr den Flu durch die Flche A₁ gilt nach der allgemeinen Formel:
$integral f1 = - Exdy dz ~~ - Ex(x)DyDz A1$
Die Flche A₂ befindet sich in einer Entfernung von x von der Flche A₁. Die x-Komponente des elektrischen Feldes hat somit den Wert E_x(x + x), womit sich fr den Flu ₂ ergibt:
$integral f = + E dydz = E (x+ Dx)DyDz 2 x x A2$
Mit Hilfe der Taylor-Formel knnen wir fr kleine x die Funktion E(x + x) entwickeln:
$( @Ex- ) E(x+ Dx) = Ex + @x .Dx$
Damit folgt nun endgltig fr ₂:
$( ) Ex(x+ Dx)DyDz ~~ Ex + @Ex-.Dx DxDy @x$

$|--------------------| f1 + f2 = @E-DxDyDz | ----------@x----------$
Analog gilt fr den Flu durch die restlichen Flchen A₃ bis A₆:
$|--------------------| f3 + f4 = @E-DxDyDz | ----------@y----------$

$|--------------------| f5 + f6 = @E-DxDyDz | ----------@z----------$
Somit gilt fr den gesamten Flu:
$gf @E- @E- @E- EdA = (f1 +f2) + (f3 + f4)+ (f5 + f6) = @x DxDyDz + @y DxDyDz + @z DxDyDz = A1 ( ) @E- @E- @E- = DxDyDz @x + @y + @z = DxDyDz-- \~/ E ------- ------- DV Divergenz von E$ (2.1)
Damit folgt nun: $gf lim -1-- E dA = \~/ E DV'-->0 DV Ai$

$gf integral integral f = E dA = \~/ E dV = 1-Q = -1rdV e0 e0 A V V$
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
$|---------| | 1- | | \~/ E = e0r | -----------$
Dies ist die 1.MAXWELLsche Gleichung in differentieller Form.
Mit = - $\~/$ V folgt: $( ) ( ) \~/ E = - \~/ \~/ V = - /_\ V = 1-r /_\ =_ \~/ 2 (Laplace- Operator) e0$

$|-----------| | -1 | |DV = -e0r | ------------$
Wir haben hier die sogenannte Poisson-Gleichung hergeleitet.

2.1.8 Beispiele von Feldern und Potential

COULOMB-Potential $|-----------| | --Q--| V (r) = 4pe0r -------------$
- Abstoend: $Q,q = o+ , o+ oder o- , o-$
  Damit folgt:
  $-+Qq- Epot = q .V(r) = 4pe0r$
  
  Wie nah kommt Teilchen an Q, das bei r = mit v losluft? Dazu betrachten wir die Energiebilanz:
  $Etot = Ep + Ekin = const. = 0 + 1mqv2 =-Qq--+ 1mqv(r)2 = ---Qq---+ 0 2 oo 4pe0r 2 4pe0rmin$
  Damit folgt r_min zu:
  $2qQ |---qQ----| rmin = --------2 = |-------2-| 4pe0mqv oo -2pe0mqv oo -$
- Anziehend: $|q||Q | q .V(r) = ------ 4pe0r$
  
  $Etot = q.V (r)+ Ek$
  Fr E_tot < 0 liegt ein gebundener Zustand vor. Das Teilchen kann maximal bis r_max kommen:
  $E = 1m v(r)2- |q||Q-|= const tot 2 q 4pe0r$
  
  $--|q||Q-|- - |Etot|= 0- 4pe0rmax$
  Damit folgt dann r_max:
  $|---------------| | |q||Q| | rmax = 4pe0|Etot|| -----------------$
Homogene Ladungsverteilung in einer Kugel (z.B. Atomkern)
- r < R: (r) = ₀ = const.
- r > R: (r) = 0
Damit lt sich dann die Ladung angeben:
${ 4pr3r0 fr r < R Q(r) = 3 0 fr r > R$
Zur Berechnung der elektrischen Feldstrke nehmen wir den GAUschen Satz:
$integral f = E dA = Q(r) e0 A$
Die elektrische Feldstrke ist betragsmig auf der Kugeloberflche konstant, so da wir sie vor das Integral ziehen knnen:
$integral integral E(r)dA = E(r) dA = E(r).4pr2 = Q(r) e0 A A$
Damit ergibt sich dann E(r):
$|-------------| | Q(r)--| |E(r) = 4pe0r2 | --------------$
- Fr r < R: $|-------r---| |E(r) = 3e0r | ------------|$
- Fr r > R: $|-----------------------| | Q(R)-- rR3- -1 | |E(r) = 4pe0r2 = 3e0 .r2 | ------------------------$
Potential:
- Fr r = R ... : $integral r 3 |---3--( ) V(r)- V ( oo ) = - qR--1'2 dr'=|rR--1 |= -Q--1 oo 3e0r -3e0-r-| 4pe0r$
- Fr r = 0 ... R: $integral r |-----------| V (r)- V(R) = - rr'dr = rR2-- r-r2 | 3e0 -6e0---6e0---- R$
Damit sieht die Funktion V (r) folgendermaen aus:
Gleichmig geladener Draht

Fr l » r knnen die Randflchen des Drahtes vernachlssigt werden. Damit folgt fr seine Flche:
$A = 2prl$
Die Lngenladungsdichte sei entlang des Drahtes konstant:
$c = Q != const. l$
Auf der Oberflche des Drahtes ist nun E wieder betragsmig konstant. Wir knnen so wie bei der Kugel verfahren und E vor das Integral ziehen:
$|------| integral integral Q- | -1 | f = E(r) dA = E . dA = 2prl.E = e0 =|l.ce0 | A A -------$
Damit resultiert also schlielich fr E:
$|-------------------| |E(r) =--c-1 fr l» r| -------2pe0r---------$
Das elektrische Feld eines sehr langen Drahtes verhlt sich also fr r anders als das Feld einer auf einen kleineren Raumbereich konzentrierten Ladungsverteilung. Deren Feldstrke fllt fr r proportional zu ab; sie verhlt sich also wie eine Punktladung:

Fr das Potential des Feldes eines sehr langen Drahtes folgt durch Integration:
$integral r |--------| V(r) = - E (r') dr'= |-c--ln R-| R -2pe0--r--$
Dipole, Multipole
Betrachten wir eine Ansammlung ungleichnamiger Ladungen:

Es gilt wie immer das Superpositionsprinzip:
$|---------------------| | -1-- sum --Qi-- | |V (r) = 4pe0 |r- ri|| -------------i--------$
Spezialfall Dipol:

Die beiden Ladungen, aus denen der Dipol besteht, sind betragsmig gleich gro; sie haben nur entgegengesetzte Vorzeichen:
$Q1 != Q != -Q2$
Damit ergibt sich dann fr das Potential:
$( ) V(r) = -1-- -Q- - -Q- 4pe0 |r1| |r2|$
Durch Umformung erhalten wir:
$( ) V(r) =--1- |--Q--|- |-Q--| 4pe0 ||r- d2|| ||r+ d2||$
Wir nhern diese Beziehung durch eine Taylorreihenentwicklung:
$( ) |--1--|= V~ -----1------ = V~ ---1-------.1 ~~ 1 1± 1 rd (r » d) ||r± d|| r2± r .d + d2 1± rd+ d2- r r 2 r2 2 4 r2 4r2$
Somit erhlt man das Potential eines Dipols:
$|-----------------------------------------| |V (r) = -Q--r.d-mit dem Dipolmoment p =_ Qd| --------4pe0-r3----------------------------$

$V (r) = pcosh-12 4pe0 r$

Dipolfeld:

$( ) (( ) ( )) ( dr ( ) ) E (r) = - \~/ V (r) =--Q dr \~/ -1 + 1- \~/ dr = ---Q- - 3-----.r + 1- d . \~/ r = 4pe0 r3 r3 4pe0 r4 r r3 [ ] |_ ( )( )_ | -Q-- dr -1 ( ) --Q- |_ dr 1- -@- @-- @-- x _| = - 4pe0 - 3r4er + r3 d. \~/ r = -4pe0 -3 r4er + r3 . d1@x + d2@y + d3@z y = [ ] [ ] z -Q-- dr -1 -1-- Qd-.r -1 --1-[ p.r.cosh- 1- ] = - 4pe0 - 3r4er + r3 .d = 4pe0 3 r4 er- r3 .Qd = 4pe0 3 r4 er- r3 .p = |-------------------| = |--1---(3pcoshe - p)| -4pe0r3--------r-----$ (2.2)

Krfte auf einen Dipol:
- Im homogenen -Feld
  
  Hinweis:
  Hier handelt es sich natrlich um ein externes Feld und nicht um das des Dipols.
  - Kraft auf -Q: $F1 = - E .Q$
  - Kraft auf +Q: $F2 = +E .Q$
  Damit folgt nun das Drehmoment:
  $|-------(-----)-| |D = Q . d × E | ----------------|$
  
  Drehmoment:
  $D = r× F$
  Der Dipol richtet sich so lange aus, bis = (wenn ||).
  Energie eines Dipols:
  $Epot = - Q .V1 + Q .V2 = Q .DV$
  Dies wird fr y maximal, d.h. ||.
Inhomogenes -Feld
Mit der Taylorentwicklung folgt:
$( ( ) ( )) ( [ ] [ ] ) F = Q . E r+ d - E r- d ~~ Q . E(r)+ d \~/ E - E(r) - -d \~/ E = 2 2 2 2 ( ) ( ) = Q . d \~/ E = p \~/ .E /= o$ (2.3)