2.2 Leiter und Isolatoren im elektrischen Feld

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2.2 Leiter und Isolatoren im elektrischen Feld

Leiter im elektrischen Feld:

Bewegliche Ladungen werden so lange verschoben, bis ein neues Krftegleichgewicht entstanden ist (Influenz).

2.2.1 Sonderfall Kondensatoren

Ein Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen leitenden Flchen.

Ungeladener Kondensator
Aufladungsvorgang
Geladener Kondensator

Beispiele:

Plattenkondensator

Wir legen eine geschlossene Flche O um Q herum. Diese geschlossene Flche wird durch einen Quader realisiert:
$O = A + Ar$
A_r ist hierbei die Restflche, also O - A. Fr den Flu folgt somit:
$gf integral integral Q f = E dA = E dA + E dA = E .A + 0 = e- O A Ar da E=0 0$
Damit ergibt sich fr das elektrische Feld:
$Q E = ---- e0A$
Die Spannung (Potentialdifferenz) folgt nun durch Integration ber das elektrische Feld entlang eines Weges von der einen zur anderen Platte.
$integral r2 |------| U0 =_ DV = E dr = E .d =|-Q--.d| r -e0A---- 1$
Damit ergibt sich schlielich die Kapazitt nach der Definition Q = C ^.U₀:
$|-------| C = e0A-| ------d--$

Beispiel:
Es sei ein Plattenkondensator mit folgenden Abmessungen gegeben: $A = 100 cm2, d = 1 mm$
Dann folgt eine Kapazitt von 88,5pF.

Die Kapazitt ist eine Eigenschaft des Leiters, dessen Geometrie und dem Isolator zwischen den Flchen.

[C] = 1Farad =_ 1 C V

Folgende Kapazitten sind blich:

10^-6 F = 1F: Netzteile
10^-9 F = 1nF: Verstrker
10¹² F = 1pF: HF-Systeme

Kondensatoren sind nichts anderes als Ladungsspeicher.

Kapazitt einer Kugel mit Radius R (in Bezug auf unendlich ferne Oberflche)

$Q ( 1 1 ) Q U =_ DV = V1- V2 = ---- ---- --- = -- 4pe0 R1 R2 C$
Fr R₁ folgt:
$U = -Q---- 4pe0R$
Damit ergibt sich die Kapazitt einer frei stehenden Kugel:
$|---------| C--=-4pe0R--$

Beispiele:
- C_{Stecknadelkopf} = 0,11pF
- C_Fuball = 16pF
- C_Erde = 700F (!)
Beispiel:
$U = 2.106V; C = 4pe0 .0,5 m ~~ 50pF$

$6 -12 C - 4 ==> Q = U .C = 2 .10 V .50.10 V-= 10 C$
Schaltungen von Kondensatoren
- Parallelschaltung:
  
  Mit Q = Q₁ + Q₂ ergibt sich:
  $Q Q1 + Q2 C = U- = --U----- 0$
  
  $C = C + C 1 2$
- Serienschaltung:
  
  $U = U + U 0 1 2$
  
  $Q = Q1 = Q2$
  
  $Q Q C = U-= U--+-U- 1 2$
  
  $1-= U1-+ U2-= 1--+ 1-- C Q Q C1 C2$

2.2.2 Energie von Feldern

Bei der Verschiebung der positiven Ladung dq mu Arbeit aufgewendet werden:

-q dW = DV .dq =_ U .dq = C dq

Q 1 integral Q2 1 2 W = C- q dq = 2C = 2CU 0 Energie, die im Kondensator gespeichert ist

Beispiel: Plattenkondensator

1 2 1 U-2 1 2 Epot = 2CU = 2e0Ad d2 = 2e0V .E

Damit folgt fr die Energiedichte:

Epot = 1e0E2 V 2

Demonstration: Gespeicherte Energie

C = 100mF $U = 16 V$

$1 -1 2 2 Epot = 2 .10 F .16 V = 12Ws$
C = 4F $U = 4 kV$

$1 -6 6 2 Epot = 2 .4.10 F.16.10 V = 32 Ws$

Die gespeicherten Energien in Kondensatoren sind sehr gering. Batterien beispielsweise besitzen Energien von 10⁴ Ws und mehr.

2.2.3 Polarisation der Materie

(Isolator im elektrischen Feld)

Kern: +Q, r < 10^-15 m
Hlle: -Q, r < 10^-10 m

Ein Atom im elektrischen Feld bildet Dipolmoment aus. (d r_Atom)

p = Q .d = a .E

Der Proportionalittsfaktor heit Polarisierbarkeit und ist materialabhngig.

Beispiel:

Hier seien die Polarisierbarkeiten einiger Atome angegeben:


H	He	Li	C	Ne


0,66	0,21	12	1,5	0,4

ist kleiner bei Atomen mit abgeschlossenen Schalen wie bei den Edelgasen Helium (He) und Neon (Ne). Die Dipoldichte P erhlt man durch Multiplikation der einzelnen Dipolmomente mit der Anzahldichte N der Atome:

P = N .q.d

N /\ = Atome3 cm

Auerdem folgt weiter, indem wir die neue Gre einfhren:

P = N .a.E =_ x .E .e D D 0

ist die dielektrische Suszeptibilitt.

Illustration:

/\ /\ EP = Polarisationsfeld,ED = Feld im Dielektrikum

Fr die Flchenladungsdichte ergibt sich:

QPol N--.q.V N--.q.A-.d sP = A = A = A = N .q .d = |P| =_ P

Fr den Flu im Vakuum folgt:

gf Q f = EVak dA = AEVak = -- e0

Damit resultiert das elektrische Feld im Vakuum:

E = -Q---= -s Vak A .e0 e0

Analog ergibt sich fr E_p:

Q P EP = --Pol= -- A .e0 e0

Das resultierende Feld im Dielektrikum kann nun berechnet werden durch:

E = E - E = E - p-= E - xE fr P || E D Vak P Vak e0 Vak D

Damit folgt dann schlielich:

|-------------------| | -EVak 1 | |ED = 1 + x = eEVak | --------------------

e /\ = relative Dielektrizittskonstante

Einschub: Polarisation des Vakuums

Im Vakuum gibt es virtuelle Teilchen-Antiteilchenpaare, die sich im E-Feld ausrichten. Damit wird also das E-Feld kleiner! Die Konsequenz ist, da das atomare Feld geringfgig vom COULOMBfeld abweicht.