6.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz

6.3.1 Weitere experimentelle Evidenzen

Definition:

Experiment:

Dieses Verhalten ist unabhängig vom Material (Sonne, Ofen, etc.)! Das Plancksche Strahlungsgesetz kann im Wellenbild nicht vollständig verstanden werden.

Wellenoptische Diskussion: Rayleigh-Jeans-Gesetz

Wir betrachten einen Würfel der Kantenlänge L, welcher innen verspiegelt ist. Die Randbedingungen sind also:

Aufgrund dieser Randbedingung kann es sich nur um eine Sinusfunktion handeln:

Berücksichtigt man alle drei Raumrichtungen, so ergibt sich:

Damit sind also schon die Randbedingungen bei x = 0, y = 0 und z = 0 erfüllt. Mit quantisierten -Werten folgt:

Damit sind auch die Randbedingungen bei x = L, y = L und z = L erfüllt.
Die Idee ist nun, daß ein quantisierter Zustand des Feldes einem Freiheitsgrad entspricht. Wir erinnern uns an die Thermodynamik:

Wie viele Zustände N ^. df gibt es in diesem Frequenzintervall [f,f + df]?

Es gilt:

Der Betrag eines -Vektors in drei Dimensionen stellt eine Kugeloberfläche dar. Die Anzahl der Zustände ist proportional zum Volumen der Kugelschale mit dem Volumen 4k² dk. Mit der obigen Gleichung resultiert für die Anzahl der Zustände:

Somit ergibt sich:

Dies ist das sogenannte Rayleigh-Jeans-Gesetz. Diese Proportionalität ist für kleine Frequenzen konsistent mit dem Experiment. Aber es gilt:

Dieses Verhalten hat lange für Aufsehen bei den Physikern gesorgt. Es konnte dann schließlich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz verstanden werden.

6.3.2 Herleitung der Planckschen Strahlungsformel nach Einstein

Wir betrachten zwei Energieniveaus eines Mediums:

Wir kennen die Boltzmann-Verteilung schon aus der Thermodynamik:

Wir nehmen an, daß das Lichtfeld mit dem thermischen Gleichgewicht mit dem Medium ist. Wir betrachten die Änderungen im Zeitintervall dt:

dN₂ Absorption von Photonen + stimulierte Emission von Photonen + spontane Emission von Photonen

Somit folgt:

Wohin geht die Energie beim Übergang 21?

Mit den Gleichungen (*), (**) und (* * *) folgt nun:

Somit folgt durch Auflösen nach u(f):

• Physikalische Bedeutung:

  Wir fordern, daß für T gilt:

  

  Dies ist genau dann erfüllt, wenn die Koeffizienten B₁₂ und B₂₁ gleich sind.

  

• Physikalische Forderung:

  Es muß für f0 einen Anschluß an das Rayleigh-Jeans-Gesetz geben. Dies zeigen wir durch Entwickeln der Exponentialfunktion in eine Reihe:

  

  Damit gilt also:

  
  

  Wir haben also das Plancksche Strahlungsgesetz erhalten.

  

  Dann folgt für das Wiensche Verschiebungsgesetz:

  

  Für das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt:

  

6.3.3 Ableitung der Stefan-Boltzmann Gesetzes

Wir führen folgende Substitution durch:

Damit folgt für das Differential df:

Dies setzen wir also ein:

6.3.4 Ableitung des Wienschen Verschiebungsgesetzes

Wir suchen das Maximum von u(f):

Wir setzen die Ableitung des Ausdrucks gleich Null:

Durch Umformung gilt also:

Wir substituieren folgendes:

Damit folgt die Gleichung:

Diese Gleichung kann analytisch nicht gelöst werden. Wir können x numerisch bestimmen und erhalten dann für f_max:

Definition:

Definition:

Für einen Hohlraum gilt A_S(f) = 1 f. Das heißt, daß das Lich schwarz aussieht. Es gilt weiterhin:

Wir groß ist P(f,T) für beliebige Materialien? Wir machen dazu folgendes Gedankenexperiment:

Im Gleichgewicht gilt:

Das Fazit dieser einfache Überlegung ist:

Es handelt sich um das Strahlungsgesetz von Kirchhoff. P_S ist die Strahlungsleistung des schwarzen Strahlers. Ein Material, das wenig absorbiert, emittiert auch weniger als ein schwarzer Strahler.