8.3 Das ideale Gas

Definition:

Ein ideales Gas ist eine große Anzahl von Teilchen (z.B. Atome oder Moleküle), deren gegenseitige Wechselwirkung klein aber nicht verschwindend ist. Normale Gase erfüllen diese Bedingung bei nicht zu niedrigen Temperaturen gut.

PIC

Ziel:

Verknüpfung der Zustandsgrößen p, V , T, N

Zur Erinnerung:
p = Fn
    A

F   /\ = Normalkomponente der Kraft
 n

Betrachten wir ein Zeitintervall dt:
Wie groß ist der Kraftstoß Fx dt? Haben die Teilchen zum Beispiel den Impuls pi,x, gilt:

Fi,xdt = 2pi,xdN1

Es heißt hier 2pi,x aufgrund der Impulserhaltung, da das Teilchen die Richtung ändert. dN1 ist die Zahl der Teilchen, die im Zeitintervall dt mit dem Stempel stoßen, also dx vom Stempel entfernt sind (Dreisatz).

dN1-   1dV-   1dx-.A   1vi,x-.dt.A
 N1 =  2 V =  2  V   = 2    V

Der Faktor 12 kommt daher, weil sich die Hälfte der Teilchen nach rechts und die andere nach links bewegt.

        A   p2i,x
Fi,xdt = V-Ni-m- dt

Es resultiert der folgende Druck:

    Fi,x-
pi = A

Daraus folgt nun pi,x:

      1-  p2i,x
pi,x = V Ni m

Summation über alle Impuls pi,x ergibt nun:

               13
            (kGianestthiseochreie)
               2
p = 1- sum  Ni   pi,x
    V  i      m
       ------------
      kine¨atihnsclhicehn d Eenrergie

Beziehen wir die klassische Mechanik mit ein, so folgt für die kinetische Energie:

            (                   )
       sum      1 p2i,x  1 p2i,y   1p2i,z
Ekin =    Ni  2 m--+ 2 m--+  2m--
       i

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften ist keine Richtung von x, y und z ausgezeichnet. Daraus folgt das sogenannte Gleichverteilungsgesetz.

         3  sum    p2i,x
==>  Ekin = 2    Ni-m-
            i

         2
==> p.V =  3Ekin

Oder auch mit der mittleren kinetischen Energie ekin geschrieben:

ekin = Ekin-
       N

Daraus folgt:

|--------------|
|       2      |
|p.V =  3N Ekin |
---------------

Das Produkt p . V hängt somit nicht von der Verteilungsfunktion ab.