8.4 Das ideale Gasgesetz

Empirisches:

Man kennt schon lange den Zusammenhang:

Die Boltzmann-Konstante hat folgenden Wert:

8.4.1 Die Boltzmann-Konstante

Mit N = n ^. N_A folgt:

R ist hierbei die ideale Gaskonstante:

Daraus folgt das ideale Gasgesetz:

Graphisch:

1. Die Teilaussage p ^. V =const. (T=const.) bezeichnet man als Boyle-Mariottsches-Gesetz. Bei konstanter Temperatur ist p ~. Man bezeichnet die Linien bei T=const. auch als Isothermen.
2. Die Teilaussage p ~ T (V =const.) heißt Gay-Lussac-Gesetz (Isochoren).
3. Die Teilaussage V ~ T (p=const.) nennt man Gesetz von Charles (Isobaren).

Für die innere Energie U definieren wir:

E_pot ist 0 beim idealen Gas. Daraus folgt:

Dies ist die innere Energie eines idealen Gases. Wir postulieren den Boltzmann-Faktor:

Er ist eine wichtige Grundkonstante der statistischen Physik.

Barometrische Höhenformel (Physik I):

Daraus folgt nun o.B.d.A.:

Mit p ^. V = nRT = Nk_BT folgt:

Mit der Massendichte und dem idealen Gasgesetz p ^. V = nRT folgt nun:

Wir haben nun die barometrische Höhenformel mittels des Boltzmann-Faktors hergeleitet.

Brownsche Bewegung:

Die Beziehung E_kin = k_BT gilt für Teilchen mit beliebiger Masse m. Nun gilt bekanntlich:

Daraus erhalten wir dann die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen zu:

Beispiel:

Ein 1m großes Teilchen mit m = 10^-15 kg hat bei T = 300K folgende mittlere Geschwindigkeit:

Man kann dieses Teilchen unter dem Mikroskop sehen. Es handelt sich um das Phänomen der Brownschen Molekularbewegung.