9.3 Der 3.Hauptsatz

Folgerungen:

Wir notieren uns folgende Definition:

Für reversible Prozesse gilt Q_rev = 0 = T dS und daraus folgt dS = 0. Für irreversible Prozesse gilt Q_irr = 0 < Q_rev = T dS. Somit ergibt sich hier dS > 0.

Die innere Energie U ist eine Funktion von V und S, das heißt U = U(V,S).

Totale Differentiale:

Wir haben eine Funktion f zweier Veränderlicher:

Die Variablen x und y hängen aber noch von t ab:

Daraus folgt für die Ableitung mittels der Kettenregel:

Das Differential dt kann man jetzt noch herauskürzen, woraus folgt:

Jetzt wieder zurück zur Physik:

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

Definition:

Dies ist der sogenannte Adiabatenexponent. Für ein ideales einatomiges Gas gilt:

Hat ein Molekül f Freiheitsgrade, so gilt:

Wir betrachten beispielsweise ein starres hantelförmiges Molekül:

Dieses Molekül hat drei Translationsfreiheitsgrade und 2 Rotationsfreiheitsgrade, also ist f = 5. Daraus folgt:

Beispiel:Festkörper

Jedes Atom hat effektiv sechs Freiheitsgrade (f = 6). Es sind nämlich drei Freiheitsgrade der kinetischen Energie und drei der potentiellen Energie. Dann ergibt sich:

Das ist das Gesetz von Dulong-Petit. Bei hohen Temperaturen gilt dieses Gesetz sehr gut, bei tiefen Temperaturen jedoch gibt es Abweichungen, weil es sich um kein klassisches Gas handelt.

Beispiel:

Hier soll die Nützlichkeit der Wärmekapazität demonstriert werden. Wir machen ein Gedankenexperiment:

Welche gemeinsame Endtemperatur stellt sich dann im Gleichgewicht ein? Die gesamte Wärmeenergie ergibt sich als Summe der Wärme des Eisenklotzes und des Wassers. Diese Energie bleibt während des Vorganges konstant:

Somit ergibt sich die Endtemperatur:

Sind die Wärmekapazitäten nicht temperaturunabhängig, so muß man integrieren.