2.1 Reflexion und Brechung von Licht

2.1.1 Senkrechter Einfall von Licht auf einen Halbraum

Beweis:

@- rotE = - @tE

Wir machen folgenden Ansatz:

i(kr-wt) E = E0e

B = B ei(kr-wt) 0

Einsetzen ergibt:

ik× E = +iwB

|-----------| ==> -k×-E-=-wB--|

Dies ist genau die Definition eines Rechtssystems.

Stetigkeitsbedingung:

Felder haben ausschließlich Tangentialkomponenten.

|E-+-E--=-E--| --i----r----t|

|------------| -Bi--Br-=-Bt-|

Wegen = mit B = ₀H:

==> V~ eiEi - V~ erEr = V~ etEt

==> n(E - E ) = n E i i r t t

ni ==> Et = nt(Ei- Er)

Dieses Resultat wird nun in die obige Bestimmungsgleichung eingesetzt:

Ei + Er = ni(Ei -Er) nt

( ) ( ) ==> Er 1+ ni = Ei ni - 1 nt nt

|------------------------| |Er- -nnit--1 ni--nt | ==> |Ei = nni+ 1 = ni + nt =: r --------t-----------------

Dies ist nun der Feld-Reflexionskoeffizient. Weiterhin erhält man die Fresnelsche Gleichung:

|----------------| |Et-= --2ni- =: t| -Ei---ni-+nt-----|

t ist der sogenannte Feld-Transmissionskoeffizient.

Wir machen eine Tabelle:

-------------------------|------------------|-------------------
| |
Phasensprung bei Reflexion|nt > ni |nt < ni
-------------------------|------------------|-------------------
| |
E |p |0
-------------------------|------------------|-------------------
| |
B |0 |p
-------------------------|------------------|-------------------
| |
|Reflexion an optisch|Reflexion an optisch
|dichten Medien |d¨unnen Medien
----------------------------------------------------------------

Somit folgen die Koeffizienten für die Intensität I:

V~ ---- V~ --- I = <|S|> = <| E × H |> = e0e<|E|2> = n e0<|E|2> m0 m0

/\ R = Intensit¨at-Reflexionskoeffizient

/\ T = Intensit¨at- Transmissionskoeffizient

|------------------| | 2 2 nt| |R = r und T = t ni| --------------------

Es gilt außerdem:

|--------------------| R + T = 1 und r + t /= 1 ----------------------

Beispiel (Luft-Glas-Grenzfläche):

ni = 1,nt = 1,5

( ) 1--1,5-2 R = 1+ 1,5 = 0,04 = 4%

2.1.2 Schräger Einfall von Licht auf einen Halbraum

Komponente von senkrecht zur Oberfläche () wie in Kapitel 3.1.1
Komponente von parallel zur Oberfläche (||) erhalten.

k||t k||i |ki|.sinhi sin ht = |k| = |k-|= --|k-|--- t t t

Mit |_t| = = n_t = = |_i| folgt das Snellius-Brechungsgesetz:

|------------------| |nt .sin ht = ni .sin hi -------------------

Spezialfall: Totalreflexion

o ht = 90 ==> sinht = 1

|-----------| n .sinhG = 1 | -------------

Der Grenzwinkel der Totalreflexion _i = _G entsteht bei der Reflexion an optisch dünneren Medien.

Beispiel:

H₂O mit n = 1,5 hat einen Grenzwinkel _G von etwa 42^o.

Frage:

Wie groß sind r, t, R, T? Im Gegensatz zum senkrechten Einfall, gibt es ein Problem: v, t, R, T hängen von Richtung von in Bezug auf die Einfallsebene ab!

Definitionen:

$|------------------------------| | | |E || Einfallsebene /\ = p-Polarisation| | | | /\ | |E _L Einfallsebene = s- Polarisation| --------------------------------$

\text{[math]}

|-------------------------------|--------------------------------|
|s- Polarisation--------------------|p- Polarisation---------------------|
| | |
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| | |
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| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
-----------------------------------------------------------------|

\text{[math]}

\text{[math]}

Unser Vorgehen ist analog zu Kapitel 3.1.1. Die zu verwendende Stetigkeitsbedingung natürlich bezogen auf die Parallelkomponenten der Feldvektoren lautet:

|----------------------| |coshi(Ei + Er) = coshtEt| ------------------------

Außerdem gilt analog zu vorher:

ni(Ei- Er) = ntEt

Et = ni(Ei- Er) nt

Dieses Resultat wird nun wieder oben eingesetzt:

cosh (E + E ) = coshni (E - E ) i i r tnt i r

Damit folgt:

( ) ( ) ni ni Er cos hi + coshtnt = Ei coshtnt - coshi

Und schließlich gilt:

ni Er-= coshtnt--coshi= cosht .ni--coshi .nt=: rp Ei coshtnnit + coshi cosht .ni + coshi .nt

Analog erhält man die restlichen Beziehungen:

p-Polarisation: $|--------------------| rp = nicosht--ntcoshi| -----nicosht +-ntcoshi$

$|--------------------| | 2nicoshi | tp = nicosht +-ntcoshi ----------------------$
s-Polarisation: $|----n-cosh---n-cosh-| rs = -i----i---t----t| -----nicoshi +-ntcosht$

$|--------------------| | ----2nicoshi----| ts = nicoshi + ntcos ht| ----------------------$

_t ergibt sich aus dem Brechungsgesetz von Snellius. Es handelt sich um die Fresnelschen Gleichungen für r_s, r_p, t_s und t_p. In der p-Polarisation gibt es ein _i mit R = 0. Diesen Winkel _i nennt man Brewster-Winkel.