[next] [tail] [up]

3.1 Mathematischer Einschub:Fouriertransformation

f(t) sei eine Funktion der Zeit t.

Definition:

|---------------------------------------------------------| | | | + integral oo | |~f(w) = V~ -1 f(t)e+iwtdt ist die Fouriertransformierte-von f(t).| | 2p- oo | ----------------------------------------------------------

Beispiel:
iw0t -iw0t f (t) = cos(w0t) = e--+-e---- 2

Wir betrachten zunächst der Einfachheit halber den Term e-iw0t. Damit folgt:

+ integral oo ~f(w) = V~ -1 e-iw0t .e+iwtdt = ? 2p - oo

Was ist cos( oo )? Die Idee ist es nun, einen konvergenzerzeugenden Faktor einzuführen:

e-iw0t-g-'-->-0--> e-iw0te-gt2

Mit Bronstein folgt für a > 0:

+ integral oo - ax2+bx+c V~ p-1b2+c e dx = ae4 a - oo

Damit folgt:

g'-->0 1 V~ p 11 2 ~f(w) = V~ --- -e- 4g(w- w0) 2p g

|-------------------------------------| | | |Ist ~f(w) proportional zur einer d-Funktion?| ---------------------------------------
+ integral oo + integral oo V~ - ~f(w)dw = V~ 1-- e-14 1g(w-w0)2 dw = V~ 1- V~ -p-.1 = V~ 2p-= const. 2g 2g 14 1g - oo - oo

Dann ergibt sich:

~ V~ --- f(w) = 2pd(w - w0)

Dies ist die Fouriertransformierte von f(t) = e-iw0t, das heißt: f(w) = 1 2 V~ 2p(d(w + w0)+ d(w- w0)) ist die Fouriertransformierte von f(t) = cos(w0t). Wir veranschaulichen dies graphisch:

PIC

Damit gilt für periodische Funktionen f(t) mit f(t) = sum n=- oo + oo a ne-inw0t graphisch folgendes Ergebnis:

PIC

Die Fouriertransformierte einer periodischen Funktion f(t) ist die Summe äquidistanter d-Funktionen, was der Fourierreihenentwicklung entspricht. Die Fouriertransformation ist - im Gegensatz zur Fourierreihe - auch auf nichtperiodische Funktionen f(t) anwendbar.

g'-->0 -1-- integral -gt2+iwt --1- V~ p -1w2 V~ -- f(w) = V~ 2p e e dt = V~ 2p g e 4 g = 2pd(w)

|----------------------------------------------------------| | | |Die Fouriertransformierte einer Konstanten ist proportional zu einer. ------------------------------------------------------------

PIC

Umkehrung der Fouriertransformation:

f~(w) sei konstant. Kann ich nun f(t) = ... auflösen? Ja, es gilt nämlich (immer vorausgesetzt, die Ausdrücke sind konvergent):

|----------+o o ----------| | 1 integral -iwt | |f(t) = V~ 2p ~f(w)e dw | ------------ oo ------------

Wir wollen dies beweisen:

+ integral oo ~f(w) = V~ 1- f(t)e+iwtdt 2p- oo

Wir setzen also f(t) ein und erhalten:

( ) ( ) 1 + integral oo 1 + integral oo ' 1 + integral oo + integral oo ' ~f(w) = V~ -- V~ -- ~f(w)e-iw tdw' e+iwtdt = 2p ~f(w')e+i(w- w)tdt dw'= 2p- oo 2p- oo - oo - oo integral + oo = -1- f~(w').2pd(w- w')dw'= f~(w) q.e.d 2p - oo
(3.1)

Faltungssatz:

f(t) sei gegeben durch:

|------+ integral oo -------------| | ' ' '| |f(t) = g(t- t)h(t)dt | ------- oo ---------------

Dies ist die sogenannte Faltung von g und h, oft abgekürzt mit:

f = g ox h

Dann gilt folgender Zusammenhang:

|-~----- V~ ------~----| -f(w)-=--2p~g(w).h(w)-|

Dabei handelt es sich also um das normale Produkt von ~g und ~h (ohne Beweis).

[next] [front] [up]