1.4 Aussage <img src="cmsy10-24.gif" alt="<-->" class="10x-x-24" />

A '--> B (A ist ¨aquivalent B)

(A <--> B) := A '--> B /\ (B '--> A) ist wahr, wenn A /\ B gleichzeitig wahr und gleichzeitig falsch sind.

Was bedeutet $¬ (A '--> B)$ ?

A, B, C Aussagen (A /\ ¬ B) '--> (C /\ ¬C) <--> (A '--> B)

Es sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann gelten:

1.) $p$ ist gerade $<-->$ $p2$ gerade

2.) $p$ ist ungerade $<-->$ $p2$ ungerade

A: $p$ ist gerade, B: $p2$ ist gerade

(A '--> B) <--> (¬B '--> ¬ A)

$V~ - 2$ ist nicht rational. ( $q$ rational: $m- q = n, m,n$ ganze Zahlen, $n /= 0$ )

Die Aussage $(A /\ (A '--> B)) <--> (A /\ B)$ (Voraussetzung A, Behauptung B) ist stets wahr.

==> direkter Beweis!

(A '--> B) <--> (¬B '--> ¬ A)

==> indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)

(A /\ (¬B)) '--> (C /\ ¬C)) <--> (A '--> B)

<--> ¬(A /\ B) = (¬ A) \/ (¬B)

¬(A \/ B) <-->= (¬ A) /\ (¬B)

¬(A \/ B) = ¬ (¬ (¬ A) \/ ¬(¬B)) = ¬¬((¬A) /\ (¬B))

$V~ 2$ ist irrational.

$¬B$ : $V~ 2$ ist rational; es gilt also $V~ 2 = m n$ wobei $m$ , $n$ rationale Zahlen mit ggT=1 sind. Durch Quadrieren ergibt sich:

m2- 2 2 Satz 1 2 = n2 ==> m = 2n ------> m = 2k

Und weiterhin folgt:

2 2 2 2 4k = 2n ==> n = 2k ==> n = 2k

$m$ und $n$ haben daher den gemeinsamen Faktor 2, das ist aber nach Voraussetzung falsch! Damit ist $V~ 2$ irrational!

C1 --> C2-- > C3-- > ...--> Ergebnis

Hier ist folgende Regel verwendet worden: ((A '--> B) /\ (B '--> C)) '--> (A '--> C)