1.1 Periodische Funktionen/Periodische Fortsetzung einer Funktion

Wir betrachten $f$ : $R '--> C$ , $p /= 0$ , $p (- R$ . $f$ heißt $p$ -periodisch, falls gilt: $f(x + p) = f(x)$ $A$ $x$ .

z 2pi f(z) = e , e = 1,f(z + 2pi) = f(z)

f (x) = eix,p = 2p,cosx,sin x

f (x) = cos 2px,p = L L

$1 f(x) = cosx$ ist nicht periodisch.

Ist $f$ $p$ -periodisch, so gilt: $f(x+ kp) = f(x)$ $A$ $x$ für jedes $k (- Z$ .

k > 0 : f(x+(k- 1)p+p)= f(x)+(k- 1)p) = f(x+(k- 2)p)= ...= f(x+p) = f(x)

( ) ) k < 0 : f x+ kp = f (x + kp+ p

Daraus folgt dann ohne Beschränkung der Allgemeinheit $p > 0$ .

Gegeben ist $y = f(x)$ , $a < x < b$ . Es sei $p := b- a$ . Gesucht ist die $p$ -periodische Fortsetzung von $f$ auf ganz $R$ :

f : R '--> C, f(x+ p) = f(x) A x, f[a,b] = f

Gegeben ist außerdem $x (- R$ : $f(x) = f(x + kp)$ .

U R = (a + kp,b- kp] k (- Z

Bestimme $k$ mit $x (- (a- kp,b+ kp]$ mit $a- kp < x < b - kp$ $==>$ $a < x+ kp < b$

$f$ : $R '--> C$ sei $p$ -periodisch und integrierbar, $a (- R$ sei beliebig. Dann gelten:

$a+ integral p integral p integral p2 a integral +p2 f(x)dx = f(x)dx = f(x) dx = f(x)dx p 0 - p2 a-p2$

a integral +p a+ integral p integral a integral p f(x) dx = f(x - p)dx = f(x)dx |+ f(x)dx p p t=xt=-xp,0 a

a integral +p integral p f(x)dx = f(x) dx a 0

Wir ersetzen 0 durch $a- p2$ und $a$ durch $- p2$ , womit folgt:

a integral +p2 integral p integral p2 f(x)dx = f(x)dx = f (x)dx p 0 p a-2 - 2

$f$ : $R '--> C$ sei stetig, $p$ -periodisch und integrierbar. Dann gilt:

$a integral +p integral p f(x)dx = f(x)dx a 0$
$a integral +p -d- f(x)dx = 1.f(a+ p)- f(a) = 0 da a$
$a integral +p = a$ const. für jedes $a$ , $a integral +p integral p = f (x) dx a a=00$

\text{[math]}

Es sei $y = f(q)$ , $q (- R$ , $p$ -periodisch, $p q = 2px$ . Dann ist $( p ) F (x) = f 2px$ für $x (- R$ $2p$ -periodisch.

( p ) ( p ) ( p ) F(x+ 2p) = f 2p-(x+ 2p) = f 2p-x+ p = f 2p-x = F(x)

Ist $F = F(x)$ $2p$ -periodisch, so ist $(2p- ) f(q) = F p q$ $p$ -periodisch.

$f$ sei $p$ -periodisch. Rechne nun in Periode $q$ . Wir betrachten $2p$ -periodische Funktionen auf dem Grundintervall $(- p,+p]$ .