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4.1 Einführung

  1. G (_ R2,f : G '--> R
    integral integral f(x,y)d(x,y) = ? G

    G sei offen, zusammenhängend und 2 (_ R . „Zusammenhängend“ bedeutet, daß mit 2 Punkten von G auch eine Verbindungskurve ganz in G . Zwei getrennte Mengen sind beispielsweise nicht zusammenhängend. Die Menge darf aber „Löcher“ besitzen. Wenn keine Löcher vorhanden sind, spricht man von „einfach zusammenhängend“. Eine offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.

    G ist außerdem beschränkt, das heißt es gibt eine Zahl k > 0 mit x (- G für die gilt ||x|| < k (G < {x|||x ||< k} ). f : -- G '--> R2 sei stetig, also gelte -- f (- C0(G) . Mit -- G =_ G U @G bezeichnen wir G mit Rand. Folgendes können wir beispielsweise noch nicht integrieren:

    f(x,y) =-----1----- ,G = {(x,y)| x2 + y2 < 1} (- /C0(G) 1 - (x2 + y2)

    Im R2 ist eine Linie kein Gebiet.

    Voraussetzung:

    G ist beschränktes Gebiet: -- f (- C0(G) (==> f ist beschränkt.)

    Definition:

    Definition von integral integral f(x,y)d(x,y) G für spezielle G :
    In x -Richtung projizierbare Gebiete: G(x) = {(x,y)| a(y) < x < b(y),c < y < d}
    d ( b(y) ) integral integral integral integral f (x,y)d(x,y) := f(x,y) dx dy G(x) y=c x=a(y)-- ------- Funktion von y

    Bemerkungen:

    • In y -Richtung projizierbare Gebiete: (y) G = {(x,y)| c(x) < y < d(x),a < x < b}

      ( ) integral integral integral b d( integral x) f(x,y)d(x,y) = f (x,y)dy dx G(y) x=a y=c(x)

    • Läßt sich G disjunkt in Teilgebiete G1,...,GN der Formen (1),(2) zerlegen, wobei G1,...,GN höchstens Randstücke gemeinsam haben, so wird definiert:

      integral integral sum N integral integral f(x,y)d(x,y) = f(x,y)d(x,y) G j=1 Gj

    Beispiel:

    G sei der beschränkte Teil des 2 R , der durch die Kurve x = 2,y = y,xy = 1 berandet wird. Wir wollen nun berechnen:

    integral integral x2 d(x,y) y2 G

    G = G(y) = {(x,y)| 1-< y < x,1 < x < 2} x

    ( ) ( ) integral integral x2 integral 2 integral x x2 integral 2 integral 2 dy 9 -2 d(x,y) = -2 dy dx = x2 -2- dx = - G y x=1 y=1 y x=1 y= 1 y 4 x x

    Alternative:
    G = G(x) = {(x,y)|1< x < 2, 1 < y < 1} 1 y 2

    G2 = G(x) = {(x,y)| y < x < 2,1 < y < 2}

    1 ( 2 ) 2 ( 2 ) integral integral x2 integral integral x2 integral integral x2 9 y2 d(x,y) = y2 dx dy+ y2 dx dy = 4 G y= 12 x= 1y y=1 x=y

    Beispiel:
    G = {(x,y)| 0 < x < 1,0 < y < 1}

    x - y { (x+-y)3 f¨ur (x,y) /= (0,0) f(x,y) = 0 f¨ur (x,y) = (0,0)

    integral integral integral 1 ( integral 1 ) integral 1( integral 1 ) f(x,y)d(x,y) = f (x,y)dy dx = f(x,y)dx dy G y=0 y=0 y=0 x=0

    integral x- y integral x+ y - 2y integral dx integral dx x (x-+-y)3-dx = -(x+-y)3-dx = (x-+-y)3 -2y (x+-y)3 = -(x-+y)2

    integral -x---y-dy = ---y--- (x+ y)3 (x+ y)2

    integral 1 ||1 integral 1 |1 ---y---|| dx = ---1--- dx = ---1--|| = - 1+ 1 = 1 (x +y)2|| (x + 1)2 x + 1|x=0 2 2 x=0 y=0 x=0

    | integral 1 ||1 - --x--2-|| dy = - 1 y=0 (x + y) | 2 x=0

    Dies liefert unterschiedliche Ergebnisse, da f (- /C0(G) . lim f(x,y) (x,y)'-->(0,0) existiert nicht.

    lim f(x,y) = 0 (x,y)'-->(0,0)

    --12x--- (x,12lxim)'-->(0,0)(3)3x3 = oo 2

    Beispiel:
    y2+1 integral 1 integral 2 integral 1 [1 3 ]y2+1 integral 1(1 ( 2 )3 1 4) [1 ( 2 )4 1 5]1 I = x ydx dy = 3x y dy = 3 y + 1 y - 3y dy = 24 y + 1 - 15 y = 0 y 0 y 0 0 1 1 1 |67-| = -- .16- -- .1- -- = |---| 24 15 24 -120-
    		(4.1)

    Beispiel:
    2 2 2 integral 2 x integral integral 1 integral x integral 2 integral x I = 2xy dydx = 2xy dydx+ 2xy dydx 0 max(0,4x-4) 0 0 14x-4

    Für das erste Integral folgt:

    1x2 1 1 integral integral integral [ 2]x2 integral 5 [1 6]1 1 I1 = 2xydy dx = xy 0 dx = x dx = 6x = 6 0 0 0 0 0

    integral 2 x integral 2 integral 2 [ ] 2 integral 2( ) integral 2( ) I2 = 2xydy dx = xy2 x4x-4 dx = x5 - x(4x- 4)2 dx = x5 - 16x3 + 32x2- 16x dx = 1 4x-4 1 1 1 [ ]2 = 1x6 -4x4 + 32x3- 8x2 = 11 6 3 1 6
    		(4.2)

    Durch Addition gilt dann:

    |--| 1 1 |1 | I = 16 + 6 = 13 | ----

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