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1.1 Komplexe Zahlen

Wir werden uns mit folgenden Dingen auseinandersetzen:

z (- C,z = x+ iy

x = Re(z)

y = Im(z)

(x ) y (- R2 <==> z = x+ iy(R2 -~ C)

Zu einer komplexen Zahl gehört die konjugiert komplexe Zahl:

z = x- iy

Re(z) = Re(z)

Im(z) = - im(z)

Weiterhin gilt durch Kombination dieser Formeln:

x = Re(z) = 1(z + z) 2

1 - y = Im(z) = 2i (z- z)

Für den Betrag einer komplexen Zahl erhält man nach Pythagoras:

|z|2 = Re(z)2 + Im(z)2 = zz

Des weiteren gilt die Dreiecksungleichung:

z,w (- C :||z|- |w||< |z ± w|< |z| + |w|

|Re(z) < |z| ,|Im(z) < |z|

Polardarstellung:
z = rcosf+ isin f,r > 0,f (- R

r = |z|

Durch r > 0, f (- R wird eindeutig eine komplexe Zahl z (- C gegeben. Die Umkehrabbildung z (- C'-->r > 0,f ist jedoch nicht eindeutig, was an der Periodizität der Winkelfunktionen sin und cos liegt. Der Winkel f wäre nämlich nicht eindeutig bestimmt. Man kann aus dieser Abbildung jedoch eine eindeutige Abbildung machen, indem wir das Intervall, in dem sich f befinden darf, folgendermaßen festlegt:

z : C '--> arg(z) (- [0,2p] oder (-p,+p]

Dies ist dann der Hauptzweig des Argumentes. Somit gilt nun:

f = arg(z) <==> z = |z|(cosf+ isin f),a < f < a + 2p

a = 0,a = -p

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