1.2 Exponentialfunktion

oo exp : C '--> C, exp(z) = sum 1-zk k=0 k!

An dieser Stelle sollte man noch einmal folgende Begriffe nachschlagen:

Der Konvergenzradius für diese Reihe ist . Deshalb konvergiert sie für alle z. Weiterhin gilt:

exp(0) = 1

exp(z) /= 0 A z (- C

Mit dem Cauchy-Produkt kann man beispielsweise folgende Formeln herleiten:

exp(z)exp(w) = exp(z + w);z,w (- C

Diese Beziehung heißt Additionstheorem für die Exponentialfunktion. Darüberhinaus gilt:

1 exp(- z) = exp(z), A z (- C

exp(z) /= 0 A z (- C

Durch Betrachtung der Reihe erhält man:

------ exp(z) = exp(z) ==> Re(exp(z)) = 1 (exp(z)+ exp(-z)) 2

|exp(z)| 2 = exp(z)exp(z) = exp(z +z) - exp (2Re(z)) = (exp(Re(z)))2

|exp(z) = eRe(z) : z = x+ iy :|ez|= ex

z = x+ iy,ez = ex+iy = exeiy ==> |ez|= |ex||eiy|= ex| eiy|

( ) y (- R :|eiy|= 1 |eiz|/= 1