1.3 Die trigonometrischen Funktionen

sum oo sum oo cos(z) = --1-(- 1)kz2k,sin(z) = ----1---(-1)kz2k+1,z (- C k=0(2k)! k=0(2k + 1)!

eiz = cos(z)+ isin(z),z (- C

e-iz = cos(z) -isin(z)

cos(z) = 1(eiz + e-iz),sin(z) = 1-(eiz- e-iz) 2 2i

z = y (- R :

1 ( ) ( ) cos(y) = 2 eiy + e-iy = Re eiy

sin(y) = 1-(eiy -e- iy)= Im (eiy) 2i

ez = ex+iy = ex(cos(y)+ isin(y)) = |ez||cos(arg(ez))+ isin (arg(ez))|

z e = 1 <==> zk = 2kpi,k (- Z

e2kpi = 1,k (- Z

ez+2kpi = ez A z (- C, A k (- Z

2 2 2 2 2 2 |Re(z - z0)| < |z- z0| = (Re(z - z0)) +(Im(z- z0)) = (Re(z)- Re(z0)) +(Im(z)- Im(z0))

z '--> z0 <==> Re(z) '--> Re(z0) und Im(z) '--> Im(z0)

Wir können folglich bei Konvergenzfragen von komplexen Funktionen immer ins Reelle übergehen.