4.3 Auswertung (reeller uneigentlicher) Integrale

4.3.1 Linienintegrale mit Residuensatz

In HM II hatten wir ein Linienintegral folgendermaßen berechnet:

gf integral b h(z)dz = h(z(t))z˙(t)dt g a

g : z = z(t),a < t < b

z(t) = eit,0 < t < 2p

Satz 1:

$|----------------------------------------------------------------------------------------| | | |G = {z,| z|< 1}; z1, z2, ... (- G seien isolierte Singularit¨aten der auf G \ {z1,z2,...} holomorphen |Funktion f mit|zj| /= 1 A j. Dann hat man: | |2p ( ( ) ( )) | | integral it sum f(z) f(z) | | f(e )dt = 2p Res z ;zl + Res z ;0 f¨ur 0 < |zl|< 1 | |0 l | -----------------------------------------------------------------------------------------$

Beweis:

z(t) = eit

dz = ieitdt = izdt

integral 2p gf gf ( it) dz- 1 f(z) f e dt = f (z)iz = i z dz 0 |z| =1 |z| =1

Dies ergibt dann den Residuensatz.

Beispiel:

2p integral ( it) 1 gf cosz 1 (cosz ) ( cosz) cos e dt = i z dz = i.2pi.Res z ;0 = 2p z . z = 2pcos(z)|z=0 = 2p 0 |z| =1

Beispiel:

+ integral p I = -1- ------dt------ 2p- pa2 - 2acost+ 1

Dies stellt natürlich kein geschlossener Integrationsweg dar. Da wir aber eine periodische Funktion haben, folgt:

1 integral 2p dt 1 integral 2p dt I =--- -2------------= --- -2----1--it----it----,a (- C 2p 0 a - 2acost+ 1 2p 0 a - 2a2 (e + e )+ 1

Außerdem gilt nun:

2 integral p it I = -1- ----2it---e---2-it---dt 2p 0 - ae + (1 + a )e - a

Durch Umformung von f(z) folgt:

f(z) = --------z---------= ------z-(-----) -az2 + (1 + a2)z - a -a(z- a) z- 1a

Damit können wir nun das Integral berechnen:

gf I = - 1-1-1 -----dz(---1). a2p i|z|=1 (z - a)z - a

a und sind Polstellen 1.Ordnung. Wir wenden den Residuensatz an:

( ) |a|< 1 : Res ------1(---1);a = --11- (z- a) z- a a- a

( ) |a |< 1 : I = -1-1-.2pi a - 1 = - 1--1-1 = --1-2- a 2pi a aa - a 1- a

Als Übung ist zu zeigen:

1 |a|> 1 : I =-2--- a - 1

4.3.2 Uneigentliche Integrale mit Residuensatz

+ integral oo dx 1 1 ----4,f(x) = ----4-==> f(z) =-----4 - oo 1+ x 1+ x 1 + z

Die Singularitäten, also die Nullstellen des Nenners, sind folgende:

eip4,ei3p4 ,ei5p4 ,ei7p4

Satz 2:

$|----------------------------------------------------------------------------------------| | | |G (_ C sei ein Gebiet, {z| Im(z) > 0} < G. f : G '--> C sei holomorph bis auf endlich viele isolierte |Singularit¨aten, von denen keine reel ist. z1, z2, ..., zS liege in der oberen Halbebene (Im(zk) > 0,k = |1,...,S). Es gelten nun: | | integral p | | lim f (Reit)dt = 0 | |R'--> oo | | 0 | | R integral | | S sum | |Rli'-->m oo f(x)dx = 2pi Res(f ;zk) | | -R k=1 | -----------------------------------------------------------------------------------------$