5.1 Implizite Differentialgleichung 1.Ordnung

Es sei F(x,y,y') = 0 gesucht mit y = (x) und F(x,(x),'(x)) = x I. Die Kurvendarstellung in impliziter Form lautet:

f(x,y) = c

Beispiel:

x2 + y2 = 9

In Parameterdarstellung schreiben wir:

x = Y(t)y = x(t)

Beispiel:

x = V~ 5 cos(t)

- y = V~ 5 sin(t)

0 < t < 2p

Es sei G ³, F C¹(G) und D₃F(x,y,y')0 in G. Wir nehmen an, daß y = (x) C²(I) ( $/\ =$ 2 mal stetig differenzierbar) eine Lösung der Differentialgleichung ist.

''(x) = 0
(x) = ax + b mit a, b = const. ist eine Lösung, falls F(x,ax + b,a) = 0. y = (x) = ax + b ist Lösung, falls F(x,ax + b,a) = 0 x I gilt.

Beispiel:
- Clairautsche Differentialgleichung $' ' y = xy + g(y)$
  
  $ax+ b = ax+ g(a)$
  
  $b = g(a)$
  Damit folgt, daß y = (x) = ax + g(a) eine Lösung für jedes a darstellt. Es handelt sich jedoch um keine beliebige Gerade, da die Abhängigkeit b = g(a) besteht.
- y = xf(y') + g(y') $ax + b = xf(a)+ g(a)$
  
  $a != f(a),b != g(a)$
  Für jedes a mit f(a) = a ist die Gerade y = (x) = ax + g(a) Lösung.
''(x)0 x I $t = f'(x) ==> x = Y(t),t (- J$

$y = f(x) ==> y = f(Y(t)) = x(t),t (- J$
Es sei y = (x) eine Lösung in Parameterdarstellung mit x = (t), y = (t).
$' F(x,f(x),f (x)) = 0 A x (- I$
Damit folgt dann:
$F (Y(t),x(t),t) = 0$

$x(t) = f(Y(t))$
Durch Ableiten nach t resultiert:
$' ' ' ˙ x (t) = f(Y(t))Y (t) = Y(t)t$
Die Lösungen der Gleichung f((t),(t),t) = 0 sind x = (t), y = (t). (t) = t(t), t J liefert eine Parameterdarstellung für Lösungen der Differentialgleichung F(x,y,y') = 0.

Beispiel:
$' ' y = xf (y-)+ g(y) xy'2 y'$

$x = Y(t)f(t)+ g(t)$

$x˙(t) = t˙Y(t)$

$x˙(t) = ˙Y(t)f(t)+ Y(t) ˙f(t)+ ˙g(t) = tY'(t) --2-- -- -- - - t- t 2t 1$

$Y˙(t)(f(t)- t) +Y(t)f˙(t)+ ˙g(t) = 0$

Beispiel:

Wir betrachten wieder die Clairautsche Differentialgleichung:
$y = xy'+ g(y')$

$f(t) = t$

$x = Y(t) = -g˙(t)$

$y = x(t) = -˙g(t)t+ g(t)$

$y = xy'+y'2,g(t) = t2$

$x = Y(t) = -2t$

$y = x(t) = - 2t2 + t2 = -t2$
Es sei y = ax + a² eine Lösung. Die explizite Lösung lautet:
$y = -1 x2 4$
Jede Tangente an y = -x² hat die Form y = ax + a². Jede Gerade der Form y = ax + a² ist Tangente an y = -x².

Wir betrachten eine Differentialgleichung der Form (y,y',y'') = 0, in der x nicht explizit auftritt.

g y''+ -sin y = 0 l

Wir suchen y' als Funktion von y. y' = p(y) y = y(x). Welcher Gleichung muß p = p(t) genügen, damit y'(x) = p(y(x)) Lösung von (y,y',y'') = 0 ist?

f(t,p(t), ˙p(t)p(t))

y''(x) = ˙p(y(x))y'(x) = p˙(y(x))p(y(x))

p = p(t)

Das Vorgehen ist nun folgendes:

Löse (t,p(t),(t)p(t)) = 0, I.
Berechne y(x) aus y'(x) = p(y(x)).

Beispiel:

Es sei folgende Differentialgleichung gegeben:

y''= yy'+ y2

Die Anfangsbedingungen lauten:

y(1) = 0,y'(1) = -1

Wir gehen nach obiger Anleitung vor.

pp' = tp + p²
Eine Lösung hiervon ist p = 0 = y'(x), womit durch Integration folgt:
$y(x) = const.$
Diese Funktion erfüllt jedoch nicht das Anfangswertproblem und stellt somit keine Lösung dar!
$p'(t)e-t- e-tp(t) = te-t$

$( )' pe-t = te- t$
Somit ergibt sich:
$-t -t +t pe = e (t- 1)+ C1,p(t) = -t -1 + C1e$
y'(x) = -y(x) - 1 + C₁e^+y(x) $y'(1)= - y(1)-1 + C1ey(1) - - | | |1| -1 0$
Damit ergibt sich C₁ = 0.
$y'(x) = -y(x)- 1$

$' -y---= -1 y+ 1$
Durch Integration folgt:
$ln(y + 1) = -x + C2$

$ln(y(1)+ 1)- 1+ C2 = 0 ==> C2 = 1$

$ln(y(x) + 1) = -x + 1$
Somit folgt für die Lösung:
$|---------------| |y(x) = - 1+ e1-x| ----------------$