5.4 Kettenlinie

sei die Dichte, welche wir als konstant annehmen. Es ist also das Minimum der potentiellen Energie zu finden:

integral integral x2 V~ --------- U(y) = rg yds = rg y(x) 1+ y'(x)2dx x1

Die Randbedingung für dieses Problem ist, daß die Länge der Kurve konstant ist:

x integral 2 V~ -------- 1+ y'(x)2dx = L (> H) x1

Wiederholung:

Betrachten wir zuerst allgemein das Funktional F, welches auf minimal werden soll:

integral b F (y) = f(x,y(x),y'(x))dx a

Mit folgender Nebenbedingung:

integral b G(y) = g(x,y(x),y'(x))dx = L = const. a

Betrachte mit = const. das Hilfsfunktional:

F(y) = F (y) +cG(y)

Wiederholen wir an dieser Stelle den Satz 3:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|Sei y0 eine Lo¨sung von F(y), welche auf D minimal werden soll. Dann eliminiere mittels der Nebenbe-
|dingung aus y0 die Zahl c. Dies ergibt dann die gesuchte L¨osung. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Andere Nebenbedingung:

Die Fläche sei (x,y,z) = 0. Gesucht ist die Kurve auf F. Dann sind folgende Randbedingungen möglich:

Die Kurve muß eine Ungleichung erfüllen.
Die Kurve muß zusätzlich eine Differentialgleichung erfüllen (LAGRANGE-Problem).

Beispiel:

Es sei = {y C¹[0,1]|y(0) = y(1) = 0} gegeben. Auf D soll dann folgendes Funktional minimiert werden:

integral 1 integral 1 y'(x)2 dx unter der Nebenbedingung y(x) dx = 1 0 0

Das zweite Funktional, welches eine Fläche unter der Kurve darstellt, ist nun gerade unsere Nebenbedingung G(y). Dann betrachten wir:

integral 2 F(y) = F (y)+ cG(y) = [y'(x)2 + cy(x)]dx auf D 0

2 f(x,z,p) = cz + p

Da wir die Summe einer konvexen (z) und einer stark konvexen Funktion (p²) haben ist f stark konvex und strikt konvex. Durch Lösung der EULERschen Gleichung erhalten wir also eine eindeutige Lösung des Problems.

d --fp(x,y(x),y'(x)) = fz(x,y(x),y'(x)) dx

-d- ' dx 2y = c

Daraus folgt die Differentialgleichung:

y''(x) = c- 2

Wir suchen hier nun Lösungen auf , also mit y(0) = y(1) = 0. Durch Integration erhalten wir zwei Integrationskonstanten, welche wir mit den Randbedingungen bestimmen:

|----------------| |y(x) = c-(x2- x)| --------4--------|

Aus der Nebenbedingung kann nun bestimmt werden:

integral 1 integral 1 ( ) y(x) dx = c-x2 - x dx = 1 0 0 4

Dies ergibt dann = -24 und durch Einsetzen in obige Funktion y(x) folgt schlußendlich:

|----------------| |y(x) = -6 (x2 - x)| ------------------

Nun wieder zurück zur Kettenlinie:

Es ist das Minimum auf zu bestimmen von:

x integral 2[ V~ ------ V~ ------] F (y) = rgy(x) 1+ y'2 + c 1+ y'2 dx x1

Dieses Funktional ist jedoch nicht konvex, womit unsere vorherigen Erkenntnisse nur bedingt anwendbar sind. Formen wir den Ausdruck deshalb so um, daß er konvex wird. Wir verändern die unabhängigen Veränderlichen.

Die Länge der Kette sei L. Die unabhängigen Variablen längs der gesuchten Kurve sei die Bogenlänge s. Gesucht sind x(s) und y(s) für 0 < s < L. Es ist also folgendes auf = {y C¹[0,L]|y(0) = y(L) = 0} zu minimieren:

integral L -1U (y) = y(s) ds rh s=0

Unter der Nebenbedingung:

integral L x'(s)ds = H 0

Wegen x'(s)² + y'(s)² = 1 (siehe Definition der Bogenlänge, HMII) ergibt sich für die Nebenbedingung:

L integral V~ -------- H = 1- y'2(s)ds 0

Bemerkung:

Aus x'(s)² + y'(s)²)1 folgt, daß |y'(s) < 1 ist für 0 < < L. Aus y'(s) = 1 folgt y'(s) = 0; die Kurve würde also senkrecht zur x-Achse stehen. Wir hätten somit eine Spitze in der Kurve und dies ist physikalisch nicht sinnvoll. Betrachten wir nun:

integral L[ V~ --------] F(y) = y(s)+ c 1- y'2(s) ds 0

Ist dieser Ausdruck konvex? Dazu betrachten wir:

V~ ------ f(s,z,p) = z + c 1- p2

z ist als lineare Funktion konvex und ist für < 0 stark konvex. Damit ist die Summe aus beiden Funktionen stark konvex und F strikt konvex. Wenn wir also jetzt die EULERsche Gleichung lösen, haben wir ein eindeutiges Minimum.

Löse die zugehörige Gleichung (E) auf für F.
Eliminiere

y = y(s) ist symmetrisch um s = . Es gilt daher y' = 0. Dann bilden wir:

f = 1, f = c V~ ---p-- z p 1- p2

Die EULERsche Gleichung resultiert dann sofort:

|--------------------------------| |d-fp(s,y(x),y'(x)) = fz(s,y(s),y'(s)) -ds------------------------------|

' ( ) -c d- V~ -y-(s)----= 1 f¨ur 0 < s < L-und y(0) = 0, y' L = 0 ds 1- y'(s)2 2 2

y'(s) -c V~ ---------= s+ C 1 - y'(s)2

Mit der Randbedingung y' folgt die Konstante C = . Wir quadrieren uns lösen nach y'(s)² auf:

'2 (s - L)2 L y (s) =-2---(-2-L)2 f¨ur 0 < s < 2 c + s - 2

Für y'(s) < 0 erhalten wir:

' -----s--L2----- y (s) = V~ -2-(----L)2 c + s- 2

Mit y(0) = 0 ergibt sich mittels einer Integraltabelle (beispielsweise BRONSTEIN):

|---------------------------------------| integral s t- L- | V~ ( )2 V~ ------2 | y(s) = V~ ----(-2---)-dt =| c2 + s- L- - c2 + L--f¨ur 0 < s < L| 0 c2 + t- L2 2 ------------2------------4------------2-|

Mittels der Nebenbedingung erhalten wir für 0 < s <:

L2 H- integral V~ ---'--2- 2 = 1- y (s) ds 0

Daraus und mit y(s) ist dann < 0 zu eliminieren. Mittels der EULERschen Differentialgleichung können wir die Wurzel eliminieren:

V~ --------- y'(s) 1 1- y'(x)2 = -c----L-= -c V~ ----(----)2- s - 2 c2 + s- L2-

integral L2 H-= (-c) . V~ ----ds------ 2 0 c2 + (s- L-)2 2

Gibt es nun ein < 0, so daß dies gilt? Setzte nun = - und betrachte das Integral g():

integral L2 g(m) = m V~ ----ds------ m2 + (s- L-)2 0 2

Mit der Regel von de l’Hospital ergibt sich nach mühsamer (!) Rechnung:

L ' g(0) = 0,mli'-->mo o g(m) = 2, g(m) > 0

Da g stetig und mit g'() > 0 streng monoton wachsend auf [0,] ist, wird nach dem Zwischenwertsatz jeder Wert zwischen 0 und genau einmal angenommen. Wegen H < L gibt es genau ein ₀ mit = g(-₀). Mit diesem ₀ erhält man: