2.17 Mathematischer Einschub: Differentialgleichungen

Definition:

F(y,y',...y⁽ⁿ⁾,x) = 0, x ist unabhängige Variable, y(x) ist abhängige Variable. Dies ist eine Differentialgleichung n-ter Ordnung. Die explizite Form lautet:

y(n)(x) = f(x,y,y',...,y(n-1))

Es exisitert eine eindeutige Lösung für die Vorgabe y(x₀), y'(x₀), ..., y^(n-1)(x₀), x₀, sofern F, f nicht singulär sind.
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat n unabhängige Konstanten. $y = y(x,C1,C2,...,Cn),$
C_j erhält man durch Vorgabe von y(x₀), y'(x₀), ..., y^(n-1)(x₀), wie wir beispielsweise vorher mit den Anfangsbedingungen für die v(t) für einen Fall mit Reibung erhalten haben:
$v(t) = v0e-gt + g g$

2.17.1 Lineare Differentialgleichung (linear in y,y',...)

^Ly = An(x)y(n)(x) + An-1(x)y(n-1)(x)+ ...+ A1(x)y'(x)+ A0(x)y(x) = f(x)

A_j(x) ist eine willkürliche Funktion von x, ebenso f(x). wird als linearer Differentialoperator bezeichnet. Die Lösung ist von der Form y(x) = y_p(x) + y_h(x).

y_p(x) ist partikuläre Lösung der Differentialgleichung.
y_h(x) ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung. $^Ly (x) = 0 mit y (x) := y (x,C ,...,C ) h h h 1 n$

2.17.2 Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

A_j(x) = const. und f(x) ist beliebig.

any(x) + an-1y(n- 1) +...+ A1y'(x)+ a2y(x) = f(x)

Die homogene Differentialgleichung hat die Lösung:

|----------| yh(x) =-ecx-

|_ _| |_ Ancn +An -1cn-1 + ...+ A1c + A0 _| .ecx = 0 --Polynom-vom-Grad n Nullstelle: c i

Es gibt n verschiedene Lösungen y_h(x) = _{f = 1}ⁿC_ne^_nx, wobei die C_j beliebige Konstanten sind. Dies gilt aber nur, wenn die Nullstellen paarweise verschieden sind.

2.17.3 Linearität der homogenen Differentialgleichung

Mit y_h(x) ist auch C^.y_h(x) eine Lösung, wobei C eine beliebige Konstante ist.
Die Summe von zwei Lösungen y_h(x) ist auch eine Lösung.

Die _j sind reell, aber Vielfache 1.

Ancn + ...+ A0 = (c - c1)m .(Polynom vom Grad n - m)

Neben e^₁x ist dann auch x^j ^. e^₁x eine Lösung mit j = 0, 1, ..., (m - 1)

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