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4.4 Lösung der Bewegungsgleichung (in Parameterform)

x(t) = a(cost- e), da a .e = f

y(t) = bsin t

t(t) = c(t - esin t)

Wir setzen der Einfachkeit halber „ G = MSonne = 1“.

d2x- ---x----- dt2 = - (x2 + y2)3

d2y y dt2 = - (x2-+-y2)3-

dx(t) dx(t) dt -dt--= --dt- .dt-

dt(t)- --1- dt = dt(t) (Funktion in t) dt

Bemerkung:
Aus x(t) = a(cos(t) - e) und y(t) = bsin(t) folgt wegen der Drehimpulserhaltung zwangsläufig t(t) = c(t - esin(t)). Es gilt nämlich:
dL d(mr × v) --- = ---------= m(r × a)+ m (v × v)=!0 dt dt -=0-

Aus r ×a = 0 folgt aber mit dem obigen Ansatz:

(x) (x¨) 0 = r× a = y × ¨y = xy¨- y¨x = [ ( )2 ] [ ( )2 ] = (acos(t) - ae) -bsin(t) dt- + bcos(t)d2t - (bsin(t)) -a cos(t) dt- - asin(t)d2t = dt dt2 dt dt2 2 ( )2 = abd-t(1- e cos(t)+ abesin(t) dt- dt2 dt
(4.2)
Damit ergibt sich dann:
2 ( )2 d-t = ---esin(t)- dt- dt2 1- e cos(t) dt

Wir führen nun folgende Substitution durch:

2 dt-= z d-t2 = dz-= dz-.dt-= dz-.z dt dt dt dt dt dt

dz- ---esin(t)- 2 dt .z = 1 -e cos(t)z

Durch Trennung der Veränderlichen resultiert also:

ln(z) = C - ln(1 - ecos(t))

|-----------------| |z = C~.----1-----| --------1--ecos(t)-|

Durch Rücksubstitution erhalten wir:

~ dt-= ----C----- dt 1- ecos(t)

dt dt-= C1(1- ecos(t))

|-----------------------| t(t) =-C1(t--e-sin(t))+-C2

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