4.1 Feder-Modell

Wir eliminieren die Massen:

l = 1, 2, ..., f: Es handelt sich um f gekoppelte lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

• Wenn man beispielsweise u_l = a_l setzen würde, so hätte man:

  Damit wäre im allgemeinen D_lkD_kl und D wäre damit leider nicht mehr symmetrisch.

• Die a_l sind wiederum generalisierte Koordinaten.

4.1.1 Matrix-Bezeichnung

Wir bezeichnen wir Vektoren.

Ansatz:

Eigentlich gelte a_k(t) = Re. Dann ergibt sich durch Einsetzen und anschließende Division durch e^-it0:

Es handelt sich um ein Eigenwertproblem mit als Eigenwert und als zugehörigen Eigenvektor __________. Im allgemeinen ist D = bis auf Faktor „Fixpunkt“.

Lineares homogenes Gleichungssystem:

Es sind genau f Gleichungen für f Unbekannte a₁, ..., a_f. Nichttriviale Lösungen ergeben sich nur für spezielle . Die Bedingungen für die Bestimmung der Eigenwerte lautet:

Gauß-Algorithmus:

Man bringt das Gleichungssystem auf Dreiecksform durch Addition, Multiplikation von Zeilen mit einem Skalar oder durch Vertauschen derselbigen.

4.1.2 Charakteristisches Polynom

Frage:

Woher „weiß“ die Mathematik, daß die reell und sogar größer als 0 sind?

Die Eigenvektoren zu verschiedenen ’s sind orthogonal.

Beispiel:

b ist eine komplexe Größe; diese enthält 2 reelle Größen. Das u₀ ist reell. Dies sind nur drei Konstanten, man benötigt aber bei diesem Problem vier. Deshalb führt man die lineare Funktion u₀ + v₀t ein:

Es stellt sich hier die Frage, warum wir C = haben und nicht C^* = .

Dies ist beides richtig, aber C^* ist nicht symmetrisch. Mit C^* würde zwar nach wir vor V = _k,lC_kl ^* u_ku_l gelten, aber die Bewegungsgleichung (vergleiche Seite 42), würde lauten:

Wir spalten nun die ab:

4.1.3 Mathematische Eigenschaften des Eigenwertproblems

Voraussetzung:

Satz:

Beweis:

Wir verwenden:

Der letzte Ausdruck ist somit reell!

Wir vertauschen k und l. Dann folgt mit D_kl = D_lk und anschließender Subtraktion:

Daraus resultiert nun = ^* (reell). Alternativ kann man dies auch folgendermaßen zeigen, wobei nun * „komplex konjugiert und transponiert“ bedeutet:

Mit D = D^* erhalten wir dann:

Damit ist gezeigt, daß = ^* ist. Darüber hinaus gilt:

Den nötigen Beweis hierzu gibt es auf dem nächsten Übungsblatt.

Deshalb folgt:

Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten ()() einer symmetrischen reellen Matrix sind orthogonal.

Transponiere Gleichung (1):

Subtrahiere Gleichungen (1) und (3) voneinander:

Das charakteristische Polynom hat r-fache Wurzel. Das heißt:

Es existieren r linear unabhängige Eigenvektoren, die man nach Schmidt-Verfahren orthogonalisieren kann. In unserem Fall müssen die Eigenwerte > 0 sein, das heißt, V (u₁,...,u_f) hat Minimum.

Frage:

Wir notieren uns dies in Komponenten:

U ist die Matrix gebildet aus den Spalteneigenvektoren (normierte Eigenvektoren). Dies folgt aus der Festlegung

und außerdem aus U^T = U^-1.

Eigenschaften von U:

Konsequenzen von a = Uq :

Weiterhin gilt:

hat Diagonalform.

Es handelt sich somit um f ungekoppelte Oszillatoren. Die q_k’s nennt man Normalkoordinaten („Modes“).

Beispiel (qualitativ):

Für eine (2,2)-Matrix gilt:

Dies ist eine sogenannte quadratische Form.