5.1 Postulate der speziellen Relativitätstheorie

• 1.Postulat:

  

  Physikalische Gesetze erfüllen dieselben Gleichungen in O und O' (für entsprechend transformierte Größen).

  Beispiel:

  In der Newtonschen Mechanik sind die Gesetze invariant unter Galilei-Transformationen.
  

  Es gibt somit eine universelle Zeit.

• 2.Postulat:

  Die Ausbreitung des Lichtes ist unabhängig von der Bewegung der Quelle.

Gesucht ist die Transformation, die den Koordinatenachsen beschreibt und verträglich mit den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie ist.

Spezielle Lorentztransformationen sind folgende:

Wobei hier folgende Definitionen festgelegt werden:

Im Grenzfall « 1 geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über:

5.1.1 Fritz-Gerald-Lorentz-Kontraktion

Die Lorentztransformation liefert folgenden Zusammenhang:

Wie mißt nun der Beobachter die Länge des Stabes in O? Dazu messen wir die Länge des Stabes in O, indem wir gleichzeitig (t₁ = t₂) Anfangs- und Endpunkt bestimmen. Die Länge L in O ist dann L = x₂ - x₁. Gleichung (*) liefert nun:

Damit folgt nun:

> 1 impliziert nun, daß L < L₀. Diesen Effekt bezeichnet man als Längenkontraktion ________________.

5.1.2 Zeitdilatation

• Erzeugung: (0,0)
• Zerfall: (T₀,0)

Was sind nun die Koordinaten der Ereignisse in O? Dazu verwenden wir nun genau unsere Lorentztransformationen, womit folgt:

• Erzeugung: (0,0)
• Zerfall am Ort ^. c ^. T zur Zeit T, da sich O ja natürlich um v ^. T = cT weiterbewegt hat.

Wie groß ist nun die scheinbare Lebensdauer T? Nun gilt ja folgender Zusammenhang mit der Lorentztransformation:

Dann ergibt sich mit 1 - ² = :

Die Lebensdauer der Myonen ist somit im bewegten System größer.

5.1.3 Eigenzeit

Infinitesimal bedeutet dies:

Die Länge eines Kurvenstücks berechnet sich folgendermaßen:

Eine Kurve kann in verschiedenen Koordinatensystemen auf unterschiedliche Art und Weise parametrisiert werden:

Es handelt sich als um drei Funktionen, wobei u₁ < u < u₂. Wir interpretieren nun obige Formel für die Längenberechnung eines Kurvenstücks:

Gegeben sei nun eine Funktion F(l), die entlang der Bahnkurve definiert ist. liefert bei Berechnung in verschiedenen Koordinatensystemen und mit verschiedenen Parametrisierungen immer das gleiche Resultat. Entsprechend für Lorentz-Transformationen wissen wir, daß c²² = c²t² -² invariant unter eben diesen Transformationen ist.

Dies sollte für spezielle Lorentztransformationen nachgerechnet werden. Infinitesimal gilt hier wieder:

Beispiel:

ist hierbei die sogenannte Eigenzeit, die nun gegeben ist durch:

Dabei handelt es sich um die abgelaufene Zeit im Ruhesystem des Teilchens.

Beispiel:

5.1.4 Lorentz-Transformation, Vektoren, Tensoren

Die Summenkonvention schreibt vor, daß über den gemeinsamen Index k summiert wird:

Die Spalten bzw. Zeilen sind orthonormiert, wobei c²t² -² invariant ist. Hier kommt der erste interessante Gesichtspunkt auf. c²t² -² kann nämlich größer oder kleiner als 0 sein! Wenn diese Kombination positiv ist, gibt es immer eine Lorentztransformation, so daß die Raumkoordinaten verschwinden und nur die Zeitkoordinaten übrig bleiben. Ist der Ausdruck kleiner als 0, so kann man die Zeitkoordinaten verschwinden lassen, wobei nur die Raumkoordinaten erhalten bleiben.

• Raumartig: c²t² -² < 0
• Zeitartig: c²t² -² > 0

Wir verwenden Vierervektoren:

x nennt man kovariant und x kontravariant. Wir können zwischen den beiden Vektoren folgendermaßen transformieren:

Es werden nur kovariante mit kontravarianten Indizes kontrahiert. Zwei Indizes werden kontrahiert, heißt, daß ich über diesen gemeinsamen Index summiere.
Die spezielle Lorentz-Transformation für die Bewegung in x-Richtung wird durch eine Drehmatrix dargestellt:

A ist eine Transformationsmatrix und kein Tensor! Damit haben wir die Analogie zu Drehungen. Die allgemeine Lorentztransformation ergibt sich nun als Kombination von Drehung und speziellen Lorentztransformationen. Unter Lorentztransformationen gilt:

• Lorentz-Skalare:

• Vektoren:

• Tensoren zweiter Stufe:

Ferner gilt:

Zwei Lorentz-Transformationen in die gleiche Richtung mit ₁ bzw. ₂ liefern eine neue Lorentz-Transformation mit ₁₊₂ =?. Dieses Problem soll als Übung aufgefaßt werden.

Beispiele für Vierervektoren:

Hierbei handelt es sich um einer Dreier-Vektor. Relativistisch gilt jedoch:

u ist die sogenannte Vierergeschwindigkeit. Das Quadrat von u ist:

Evident im Ruhesystem des Teilchens ist folgendes:

Nichtrelativistisch gilt:

Für den relativistischen Impuls (Vierergruppe) folgt:

5.1.5 Volumenelement in 4 Dimensionen

Das ist die Jakobi-Determinante, für die gilt:

Für die Ableitungen gilt in 3 Dimensionen:

Hierbei handelt es sich um einen Vektor. In 4 Dimensionen gilt analog:

Anwendung:

Für 4 Dimensionen folgt: