2.3 Mathematischer Einschub: Die Diracsche <img src="cmmi10-e.gif" alt="d" class="10--e" width="6" height="11">-Funktion

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2.3 Mathematischer Einschub: Die Diracsche -Funktion

Verallgemeinerte Funktion, Distribution (in einer Dimension)
Gegeben sei eine Funktion $/_\$ _a(x) durch:
$1- a- 1-(a-- ) { a falls |x|< 2 /_\ a(x) = ah 2- |x| = 0 sonst$
Es gilt:
$integral oo /_\ a(x)dx = a-1a = 1 - oo$

f(x) sei eine beliebige stetige Funktion. Wir betrachten:
$oo oo integral integral < a- a> dx /_\ a(x)f(x) = f(x~) dx /_\ a(x), wobei ~x (- - 2,+ 2 - oo - oo$
Somit ist:
$|------------------------| | integral oo | |lim dx /_\ a(x)f(x) = f(a) a'-->0- oo | -------------------------$
Wir vertauschen nun lim und und definieren lim_a0 $/_\$ _a(x) = (x) mit folgenden Eigenschaften:
- _-dx(x) = 1
- _-dxf(x)(x) = f(0)
- _-dxf(x)(x - x') = f(x')
- _x₁^x₂dxf(x)(x - x') =
Die -Funktion in n Dimensionen $(n) d (x) = d(x1)d(x2)...d(xn)$
Oft läßt man den Index n weg und schreibt ().
$integral n (n) ' { f(x') falls x' (- V d xf(x)d (x - x) = V 0 sonst$

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