2.2 Skalar-,Vektor-,Tensorfelder, Differentialoperatoren und Integralsätze

• Felder, Transformationsgesetze
  Jedem Raumpunkt wird eine physikalische Größe zugeordnet. Diese Abbildung nennt man Feld. Nach dem Verhalten unter Koordinatentransformation unterscheidet man Skalar-, Vektor- und Tensorfelder (hier 3 Raumdimensionen).

  Koordinatentransformation:

  , ’ sollen in 2 Koordinatensystemen die gleichen Punkte beschreiben.

  D_ik beschreibt hierbei die Drehung/Spiegelung und y_i die Verschiebung.

  

  Die Umkehrabbildung lautet:

  

  Wenn D eine orthogonale Transformation ist, gilt:

  

  Beispiel:

  • Skalare Felder ()
  • Temperatur
  • Druck
  • Ladungsdichte
  • Potential
  

  Einschub: Einsteinsche Summationskonvention:

  Man summiert immer über den Index, der gleich ist. Somit gilt nun:

  Vektorfelder A(x):

  • Elektrisches Feld
  • Magnetisches Feld
  • Vektorpotential
  • Stromdichte
  
  

  Tensorfeld Tij(x):

  • Mechanischer Spannungstensor im festen Körper
  • Feldstärke-Tensor im Minkowski-Raum
  

  Unter Spiegelung ' = - ändern Vektoren ihr Vorzeichen.

  

  Dies gilt aber nicht für Pseudovektoren wie beispielsweise oder × (Drehimpuls).

  Skalare Felder ändern sich nicht unter Spiegelungen. Es gibt aber Pseudoskalare:

  

  Verallgemeinerung: Tensor n-ter Stufe:

  

  Wir betrachten einen antisymmetrischen Tensor:

  

  Diesen Tensor kann man mit einem Pseudovektor in Beziehung bringen:

  

• Differential-Operatoren und Integralsätze (Vektoranalysis)
  • Gradient:

    Der Gradient ist folgendermaßen definiert:

    

    Der Gradient hat nun folgende wichtige Eigenschaften: () transformiert sich wie ein Vektor, wenn () sich wie ein Skalar transformiert. Wir wollen diese Aussage kurz beweisen:

    ( + d) - () wobei d = ein kleiner endlicher Vektor beliebiger Richtung ist. Durch Taylorentwicklung erhalten wir:

    (2.1)

    Aus hier gibt es einen Integralsatz:

  • Divergenz:

    ^. ist ein Skalar, da A'_k(') = D _kk'A_k'().

    
    

    Das Flächenintegral über ein Vektorfeld ist definiert durch:

    

    steht senkrecht auf der Fläche und ist bei geschlossener Fläche nach außen orientiert, d ist durch die Fläche von d gegeben.

    

    Wir leiten den Gaußschen Integralsatz her, welcher einen Zusammenhang zwischen div A und einem Flächenintegral herstellt. Dazu betrachten wir einen kleinen Würfel am Punkt :

    

    

    df steht senkrecht auf der Oberfläche. Der Betrag von d ₁ und d ₁' lautet:

    

    Es handelt sich um 6 Flächen:

    

    Für endliche Volumina gilt:

    

    Dies ist der Gaußsche Integralsatz.

    Beweisskizze:

    Zerlege V in kleine Teilvolumina V . Die Beträge der inneren Fläche heben sich weg, die der äußeren bleiben.

    

    Ein Beispiel dafür ist eine Wasserströmung ohne Quellen.

    

  • Rotation:

    Behauptung:

    

    

    sei die Normale auf der Fläche (Rechtsschraube mit C). Wir beweisen diesen sogenannten Stokesschen Satz. Dazu betrachten wir folgende Fläche:

    

    (2.2)

    Durch Zerlegung einer endlichen Fläche F in kleine Elemente df und Summation über alle Beiträge (wobei sich bei den Linienintegralen die inneren Anteile kompensieren) erhalten wir:

    Damit haben wir den Satz von Stokes.