3.11 Wasserstoff-Atom (Zweikrperproblem mit Zentralkraft- <br class="newline">Wechselwirkung)

3.11 Wasserstoff-Atom (Zweikörperproblem mit Zentralkraft-
Wechselwirkung)

p2 p2 H = --1-+ -2--+ V(| r1 -r2|) 2m1 2m2

Wir zerlegen das Problem in Schwerpunkt- und Relativ-Koordinaten. Hierbei gilt nun außerdem (siehe Theoretische Physik B):

m1r---1+-m2r2- r = r1- r2 und R = m1 + m2

m2 m1 p =-M-p1- -M-p2 mit p = p1 + p2

Für eine kanonische Transformation gilt [p_j,x_k] = _jk. Für die reduzierte Masse und die Gesamtmasse M gilt:

m .m ~m = ---1---2 mit M = m1 + m2 m1 + m2

Damit können wir für die Hamilton-Funktion schreiben:

-p2- p2- H = 2M + 2~m + V(r) = HSp + Hrel

Wir gehen nun zur Quantenmechanik über, verwenden also Operatoren:

p '--> - ih \~/ und r '--> r

Damit gilt dann für stationäre Zustände:

H^Y(R, r) = EY(R, r)

Für den Hamilton-Operator folgt damit:

2 2 ^H = - h-- /_\ + --h- /_\ r + V(r) -2M --R 2m~--- ----- ^HSp ^Hrel

Die Wellenfunktion (,) kann als Produkt formuliert werden, da H = H_Sp() + H_rel():

Y(R, r) = YSp(R).Yrel(r)

Für _Sp() verwenden wir den Ansatz exp. Damit gilt also:

[ 2 2 ] ( ) ^HY(R, r) = h-k- + Erel exp ikR Yrel 2M

^HrelYrel(r) = ErelYrel

Wir haben ein maximales System vertauschbarer Operatoren. Aus den 6 Freiheitsgraden ergeben sich 11 Bewegungsintegrale bzw 6 involutorische Bewegungsintegrale mit {H,I_k} = 0 und {[I,I_k} = 0.

Schwerpunktbewegung: $^pK1,K2,K3 (3 Gr¨oßen)$
Relativbewegung:
_rel (n), ² (l), _z (m)

Wir suchen das gemeinsame System der Eigenfunktionen zu _rel, _rel², _z,rel.

Yrel(r) = R(r)Y(h,f)

Durch R(r) erhalten wir die beiden Quantenzahlen n und l.

R(r) = exp (- r-).Polynom (gebundene Zust¨ande) na

a sei der Bohrsche Radius. Für das Potential des Wasserstoffatoms gilt:

1 - Ze2 V (r) = --------- 4pe0 r

[( ) ] [ ] ^ h2- 1--@- 2@R- --h2- 2 HY(r) = - 2m r2@r - r @r .Ylm(h,f) + 2m~r2 L YlmR +V (r)RYlm = ERYlm ---------Kinetische Energie-------- Rotationsenergie- der Radialbewegung

Für die radiale Bewegung gilt:

~m- 2 -p2r Hred = 2 ˙r = 2m~

Somit gilt für den Operator des Radialimpulses:

- h2 .1-@2 (rR) <==> p^ .^p .R r@r2 r r

Ist _r = -i? Nein! Es gilt aber:

^pr = - ih 1@-r r@r

2 21 @ @ ^prR(r) = (- ih) r@r-@r(rR)

( )( ) 2 2 1 @-- 1 @-- ^prR(r) = (-ih) r @rr r @r(rR)

[^pr,r]R(r) = - ihR(r)

Es folgt die Radialgleichung mit ²Y _lm = ²l(l + 1)Y _lm:

R''(r)+ 2R'(r)+ l(l+-1)R(r) - 2~m-V(r)R(r) + 2~mE-R(r) = 0 r r2 h2 h2

Wir untersuchen das asymptotische Verhalten von R(r) für r:

R''(r) + 2mE-R(r)00 h2

E > 0: $( V~ ---- ) 2mE-- R(r) = exp ±i h2 .r$
Die Funktion ist nicht normierbar; es handelt sich um keinen gebundenen Zustand.
E < 0: $( V~ -------- ) R(r) = exp ± 2m(--E)-.r h2$
Hierbei haben wir einen gebundenen Zustand.

Zukünftig wird nur der Fall E < 0 betrachtet. Wir führen die Längeneinheit ein:

V~ ------ h c = ------ 2m~|E |

V~ --h-- 1 a c(E) = -----. V~ --= V~ - 2m~R j j

Außerdem werden folgende dimensionslose Variablen verwendet:

r |E| h2 /\ r = c-und j = R- mit Ry = 2ma2-= Rydberg -Energie y

R(r) '--> ~R(r)

2 l(l+ 1) [2 ~m 1 Ze2] 1 [2~m ] R~''(r)+ r ~R(r)+--r2--~R(r)+ h2-.c2 .4pe .-c-- .r.R~(r) = h2-c2Ryj R~(r) = 0 -------- -0------ ---- ---- V~ 2j !=1

2 l(l+ 1) 2 1 R~''(r) + r ~R(r)+--r2-- ~R(r)+ V~ j-rR~(r) - R(r) = 0

Nun steckt der Energieeigenwert in . Wir machen folgenden Struktur-Ansatz:

~R(r) = exp(-r)f(r)

Außerdem stellen wir folgende Forderung:

{ f(r0,) endlich f¨ur r '--> 0 f(r) = f(r)exp(- r) '--> 0 f¨ur r '--> oo

Ist P() ein Polynom? Durch Einsetzen erhalten wir eine Differentialgleichung für f():

( ) [ ( ) ] f''(r)+ 2 1 - 1 f'(r)+ 2 V~ 1-- 1 - l(l+-1) f(r) = 0 r r j r2

Wir machen nun einen erneuten Ansatz für f() in Form eines verallgemeinerten Potenzreihenansatzes:

b sum oo j f(r) = r P (r) mit P (r) = Cjr j=0

könnte sogar nicht ganzzahlig sein, aber es muß > 0 gelten.

{ 1.) R(r) regul¨ar bei r = 0 R(r) bei r = 0 existiert 2.) R(r) ~ ln(r)

Mittels eines Koeffizientenvergleichs ergibt sich dann:

^-2: $b(b- 1)- l(l+ 1) = 0$
Daraus ergibt sich dann = l ( = -(l + 1)).
¹ - 2 + 1 $[ ] Ck+1 [(k+ 1 + b)(k+ 2+ b) - l(l+ 1)] = 2Ck (k+ 1 + b)- V~ 1 ------- ------n !=0$

Es handelt sich um eine zweigliedrige Rekursionsformel. Wir untersuchen das Verhalten der P()-Reihe für , also k:

Ck+1 (k + 1+ ...).... 1 -C---= 2.(k-+-1+-...).(k+-2-+-...) '--> 2.k- k

Daraus ergibt sich dann:

sum (2r)k- oo k! ~ exp(2r) k

(2r)k+1- --k!- -2r-- 2- (k+ 1)! .(2r)k ~ k+ 1 ~ k .r

Für beliebige bricht die Reihe nicht ab.

R(r) ~ exp(-r)exp(2r) ~ exp(+r)

Die Funktion ist nicht normierbar, aber wir können selbst dafür sorgen, daß die Reihe abbricht. Dazu setzen wir:

-1- = n = 1, 2, 3, ... V~ j-

Die Reihe bricht nun ab mit k - n - (1 + l) > 0, d.h. l < n - 1.

P(r) = C0 + C1r+ ...+ Cn-(1+l)rn-(l+1)

C = 1, C = 2 .------1+-l--n------, ... 0 1 (l+ 1)(l+ 2)- l(l+ 1)

P() sind mit den Laguerreschen Polynomen verwandt.

P (r) = L(2(nl++11))(2r) x

Die Laguerre-Polynome L_n(x) sind folgendermaßen zu bilden:

xy''(x)+ (1- x)y'(x)+ ny(x) = 0

L (x) = exp(x) dn-[xnexp(-x)] n dxn

Die zugeordneten Legendre-Polynome sind definiert durch (siehe harmonischer Oszillator):

dj L(nj)(x) =---jLn(x) dx

Wir erhalten also folgendes Resultat für die Wellenfunktion:

Ynlm(r) = Rnl(r)Ylm(h,f)

V~ ----------- ( )3( )l ( ) ( ) Rnl(r) = (n--l--1)!- -2- 2 2r- exp - r-- .L(2l+1) -2r ~ rn-1 2n[(n + l)!]3 na na na n+1 na


n	l	R_nl



1	0	exp

2	0	exp

2	1	r ^. exp

Positronium
Hierbei handelt es sich um ein e⁺-e^--System
$mel m~= -2-, Z = 1$
Exziton:
Dies ist ein gebundenes Elektron-Loch-Paar im Halbleiter.
$mel ~ 0,10mel$

$mn ~ 0,2mn$

$e = 10$

Die radiale Ortswahrscheinlichkeit berechnet sich durch:

2 2 Wrel(r) = r | Rnl(r)|

Das r² ergibt sich durch Verwendung von Kugelkoordinaten. Das Maximum befindet sich bei r = n²a. Klassisch handelt es sich für l < n - 1 um Ellipsenbahnen.

Die Wellenfunktionen sind orthogonal:

integral integral integral Y*nlmYn'l'm'r2drsinhdhdf = dnn'dll'dmm'

n = 1 und n = 2, l = 1 sind bei Radialfunktion positiv.

3.11.1 Entartung

m-Entartung:
E_nlm ist für alle Zentralpotentiale von m unabhängig. Dies kommt aufgrund der Kugelsymmetrie, da keine Richtung für die z-Achse ausgezeichnet ist.
l-Entartung:
Dabei handelt es sich um die Besonderheit des -Potentials. Im allgemeinen gilt:

Betrachten wir die Bahn klassisch:

Geschlossene Ellipse (auch beim harmonischen Oszillator)
Lenz-Runge-Vektor $/\$ ist ein Bewegungsintegral
$/\$ vertauscht nicht mit ². Aber es gibt doch immer ein fünftes Bewegungsintegral für jedes Zentralproblem.

Der Ausweg ist:

1 1 1 I5 = ...-, ...--, ... 2-, ... r |p| p

Wir machen dies zu einem Operator, also:

1 -1- -1 ...^r, ...|^p| , ...p^2, ...

Der reziproke Operator ist wie folgt definiert:

1- '--> (^px)- 1 ^px

Wenn der Eigenwert gleich Null ist, dann existiert kein reziproker Operator.

3.11.2 Entartung bei einer Dimension

Alle gebundenen Zustände besitzen eine einfache Entartung.
Streuzustände sind zweifach entartet.
Für ein freies Teilchen gilt:
$Yk(x) = exp(ikx)$

$h2k2 Ek = 2m--$
Dies gilt für - < k < .

Für das Dipolmoment gilt:

integral d(t) = Y*(r,t) (- er)Y(r,t)d3r

dk(t) = -e.|xk |.2cos(wt + f) = d0,x .cos(wt+ f)

Wobei gilt:

integral 3 xfi = Yf(r)xYi(r)d r = |xfi|exp(if)

integral y = Y (r)yY (r)d3r = |x |exp(if) fi f i fi

integral zfi = Yf(r)zYi(r)d3r = |xfi|exp(if)

Hierbei handelt es sich um die sogenannten Matrixelemente des Dipolmoments. Dieses oszilliert mit:

Ei--Ef- w = h

Für die Energie des Atoms gilt:

integral <H^> = Y*^HY d3r

Für die Eigenzustände _i und _f gilt:

^HYi = EiYi

H^Yk = EfYf

Also gilt:

<^H> = |Ci|2Ei + |Cf |2Ef

Dies ist einsichtig aufgrund der Erhaltung der Energie. Aus Theorie C übernommen:

(---)2- I ~ ¨d(t)

-1--4e2w4[ 2 2 2] 2 I = 4pe0 3c3 |xfi| + |yfi| + |zfi| .|CiCf |

Ci '--> Ci(t)

Cf '--> Cf(t)

Wir machen folgenden Ansatz:

( t) ( t) |Ci(t)| 2 = exp - t- ,|Cf(t)|2 = 1- exp - t-

Es gilt hiermit:

( )[ ( )] 2 2 t- t- |Ci| | Cf | = exp - t 1- exp - t

Die Energieänderung beträgt:

oo integral Ei = Ef = hw = I(t)dt 0

Hieraus kann nun bestimmt werden. Für die Zerfalls-Rate gilt:

1- -1--2e2w3 2 1-(a)2 G= t = 4pe0 3c3h |rfi| ~ c c

|x_fi|, |y_fi|, |z_fi| = 0 sind verbotene Übergänge.
Sonst gilt |x_fi| ~ a_B. Daraus ergibt sich dann 10^-8 s. Hierbei wird sichtbares Licht der Wellenlänge 5000Å, 10¹⁵ Hz ausgestrahlt.