2.4 Klassische Wellen (Felder, mit Blick auf Quantenmechanik)

Ein Feld ist ein physikalisches System mit räumlich verteilten Größen. Man unterscheidet:

Mengenartige Größen: Dichten und Stromdichte (,t), (,t)
- Massendichte
- Energiedichte
Erhaltungsgrößen: ${ 0 xstreng erhalten“ @rg(r,t)+ divjg = @t TT(r,t) produktive Dichte$
Der Energiesatz in der Elektrodynamik lautet:
$|--(-------------)------(---------)-------| |@- e0E2 + -1-B2 + div -1E × B = -jE | -@t--2------2m0-----------m0---------------$
^. ist die Mange an Arbeit, die mit bewegten Ladungen zusammenhängt. Selbst wenn ein Magnetfeld im Spiel ist, steht auf der rechten Seite der Gleichung kein B, da die Lorentzkraft ja keine Arbeit leistet.

2.4.1 Wellengleichung

Diese lautet für eine erregende (äußere) Kraft f(

,t):

|-----------------------| |1 @2Y | |c2@t2-- /_\ Y(r, t) = f(r,t) -------------------------

(,t) beschreibt eine Komponente von und . Die Diffusionsgleichung hat beispielsweise auch Ähnlichkeit mit der Wellengleichung, allerdings enthält sie nur eine erste zeitliche Ableitung:

|-----------| |@Y | |-@t = D /_\ Y | ------------

Auch die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen ist eine Wellengleichung:

|---------------| | @Y h2 | |ih--- = - -- /_\ Y | ---@t-----2m------

Der Zustand der Wellengleichung ist durch Kenntnis von (x,t) bei t = t₀ und _t=t₀ festgelegt. Dies entspricht Ort und Geschwindigkeit aus der Mechanik. Wenn man die Größen kennt, die den Zustand festlegen, kennt man somit alle Größen des Systems. Die allgemeine Lösung der Wellengleichung enthält zwei freie Konstanten a, b, also zwei freie Funktionen f(x), g(x), die an jedem x verschieden sein können! Die allgemeinste Lösung in einer Dimension ist von folgender Form:

|-------------------------| Y(x,-t)-=-f(x---ct)-+g(x-+-ct)-

2.4.2 Wellenpakete

Für eine monochron (ebene) Welle erhalten wir folgende Beschreibung:

( ( )) Y(r,t) = exp i kr - wkt --- --- Phase

Ebenen sind in diesem Falle Ort konstanter Phasen. Ein Wellenpaket erhält man nun durch Superposition von ebenen Wellen:

integral dk Y(x,t) = A(k)exp(i(kx - wkt)) 2p-

+ integral oo A(k) = Y(x, t = 0)exp(-ikx) dx - oo

Das Charakteristikum von Wellen ist, daß sie durch eine Beziehung zwischen und k, nämlich der sogenannten Dispersionsrelation, beschrieben werden:

wk = w(k)

Für elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt beispielsweise:

w(k) = c| k|

Wenn man Wellenphänomene hat, welche durch eine lineare Gleichung beschrieben werden, bereitet sich das Wellenpaket formstabil aus:

Man unterscheidet nun:

Gruppengeschwindigkeit: $vg = dw(k)(= c f¨ur elektromagnetische Wellen im Vakuum) dk$
Phasengeschwindigkeit: $w(k) vp = -k--(= c f¨ur elektromagnetische Wellen im Vakuum)$

Bei elektromagnetischen Wellen in Materie haben wir folgenden Brechungsindex n():

cvak c '--> n(w)

w(k) = -c--.|k | n(w)

Die Form des Wellenpakets ändert sich bei der Ausbreitung;

Man unterscheidet außerdem zwischen:

Normale Dispersion:
Dies bedeutet, daß der Brechungsindex mit der Frequenz zunimmt.
$|--------| n'(w) > 0| ----------$
Anormale Dispersion:
Der Brechungsindex nimmt mit der Frequenz ab.
$|--------| n'(w) <-0-$

Des weiteren gilt die „Unschärfe-Relation“ für x und k:

|-----------| |Dx .dk > 1 | ----------2-|

|---------1-| |Dt .Dw > - | ----------2-|

Die Zahlen auf der rechten Seite der Ungleichungen hängt von der Definition der ’s ab. Wir definieren das Betragsquadrat als „Intensität“:

W (x) = |Y(x)|2

W (k) = |A(k)|2

Auch hier können wir die Erwartungswerte bilden:

integral 2 <x> = |Y(x)| .xdx

2 integral 2 2 <x > = |Y(x)| .x dx

2 2 2 (Dx) = <x >- <x>

Die Folgende Relation nennt man Parsevalsche Gleichung:

integral integral dk |Y(x)| 2 dx = 1 = |A(K)|2--- 2p

Wir wollen diese kurz beweisen:

+ integral o o integral integral integral |A(k)| 2dk-= dk- Y*(x) exp(+ikx)dx . Y(x')exp(-ikx') dx' 2p 2p - oo

Außerdem gilt:

integral dkexp(ik(x - x')) = d(x - x') 2p

Womit wir dann erhalten:

+ integral oo integral |A(k)| 2 dk= dxY*(x)Y(x) - oo 2p

integral integral integral integral |A(k)|2 .kdk-= dkk Y*(x)exp(ikx)dx Y(x')exp(-ikx')dx'= 2p integral 2p integral [ integral ] = dx dx' k exp(ikx).exp(-ikx')dk Y*(x)Y(x)

(2.1)

Für den Ausdruck in der Klammer gilt:

integral @ [ integral ] k exp(ikx).exp(-ikx')dk = i--' exp(ikx) .exp(- ikx')dk @x

Somit erhalten wir wieder die -Funktion:

integral integral integral -------------------| Y*(x)dx i @-Y(x')dx'.d(x - x') =| Y*(x)(- i)-@-Y(x)dx | @x -----------@x---------

Man erhält den Impuls, indem man die Wellenfunktion fouriertransformiert. Nach de Broglie gilt:

p = hk

integral integral ( ) 2 dk- * -@- <p> = h |A(k)| .k2p = Y (x) - i@x Y(x) dx

Folgenden Ausdruck bezeichnet man nun als Impulsoperator:

|------| | @--| --ik-@x--

2.4.3 Beweis der Unschärfe-Relation (Pauli)

Wir werden nun einen Beweis kennenlernen, der etwas undurchsichtig sein mag. Wir notieren uns hierzu als allererstes eine Relation, die auf jeden Fall gilt, da der Betrag einer komplexen Funktion immer positiv ist:

|-------|------------------|----| |D(x) = ||--x---Y(x)+ @Y(x)||> 0 | --------|2(Dx)2---------@x--|----|

Dies ist nichts anderes als die Schwarzsche Ungleichung für Vektoren. Durch Quadrieren und integrieren folgt:

integral integral [ ( )] D2(x)dx = --x2--Y*Y + @Y*-@Y-+ ---x-- Y @Y*-+ Y*@Y- dx = 4(Dx)4 @x @x 2(Dx)2 @x @x ---1-- integral 2 2 integral @Y*-@Y ---1-- integral [@--- * ] = 4(Dx)4 x | Y |dx + @x @x dx + 2(Dx)2 x. @x(Y Y) dx > 0

(2.2)

O.B.d.A. gilt:

<x> = 0, sonst x '--> x - <x>

<k> = 0, sonst k '--> k - <k >

Damit gilt also nach der Fouriertransformation:

Y(x) '--> Y(x)exp(ikx)

Erster Term:
Mit <x> = 0 resultiert dann:
$integral x2| Y|2dx = (Dx)2$
Zweiter Term: $integral @Y* @Y integral @ @Y integral dk -@x-.@x- = - @x@x- = A(k)k22p-= (Dk)2$
Dritter Term
Mit dem letzten Term führen wir eine partielle Integration durch:
$integral [ ] integral x. @-(Y*Y) dx = x[Y*Y] oo - 1 .|Y |2dx = - 1 @x - oo$
Dadurch, daß die Wellenfunktionen im Unendlichen verschwinden müssen und daß diese außerdem normiert sind, folgt dieses Resultat.

Damit erhalten wir also, um den letzten Term nochmals zu rezitieren:

integral integral integral [ ] --1--- x2| Y |2dx + @Y*-@Y-dx + ---1-- x. -@-(Y*Y) dx > 0 4(Dx)4 @x @x 2(Dx)2 @x

---1-- .(Dx)2 + (Dk)2- 1 .--1---> 0 4(Dx)4 2(Dx)2

Wir multiplizieren mit (x)² durch und erhalten:

1 2 2 1 4 + (Dx) (Dk) - 2 > 0

(Dx)2(Dk)2 > 1 4

Damit erhalten wir schließlich:

|---------| | 1| DxDk > 2| -----------

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