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2.3 Kurzer Abriß über klassische Mechanik (Blick auf Quantenmechanik)

Die Mechanik beschreibt Erscheinungen in der Natur, die sich als Bewegungen (individueller) Körper zeigen.

PIC

Es gibt einen (reinen) Zustand für jedes t, der durch x und v festgelegt ist. Es handelt sich also um Größen G = G(x,v,t). In der Dynamik lassen sich diese Größen durch die Newtonschen Gleichungen berechnen:

|---------| | d2r | |m dt2-= F | -----------

2.3.1 Lagrange-Formulierung

Anstelle von Beschreibung des Systems durch m, F haben wir als Alternative die Lagrange-Funktion kennengelernt:
|-----------| |L = L(x,v,t) -------------

Meist lautet diese:

|---------------| | m- | -L-=-2-v2--U-(x)-

Die Bahnen (Dynamik) x = x(t), v = v(t) folgen aus dS = 0. Die Lagrange-Formulierung führt auf die Newtonsche Bewegungsgleichung, wenn man keine Zwangsgröße hat:

|-----------------------------------| |d @L @L ( @U) | |dtp = F mit p =-@v, F =-@x = - @x- | -------------------------------------

Die Vorteile ergeben sich durch Verwendung von generalisierten Koordinaten, Zwangsbedingungen.

2.3.2 Hamilton-Formulierung

Das System wird durch H = pv -L = H(p,x,t) charakterisiert. Ein Zustand wird durch p und x festgelegt; p ist der kanonische (generalisierte) Impuls und x der kanonische (generalisierte) Ort. Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus:
|---------------------------------------| |dx(t)= @H(p,-x,t) und dp(t)-= - @H(p,x,t)-| --dt--------@p---------dt---------@x----|

Man kann sich nun fragen, wie sich die zeitliche Ableitung einer Größe auf der Bahn verhält:

-dG(p(t),x(t),t) = @G(p,x,t)+ {H,G} dt @t

{H,G nennt man Poisson-Klammer. Diese definieren wir (nach Landau-Lifschitz) folgendermaßen:

|-----------------------------------------| |{A,B}= @A(p,x,t)@B(p,x,t)- @A(p,x,t)@B- | -------------@p------@x----------@x----@p-|

Eine Erhaltungsgröße nennt man eine Größe, die sich längs der Bahn nicht ändert, also keine explizite Zeitabhängigkeit enthält:

dG- = 0, @G-= 0 dt @t

Eine Erhaltungsgröße ist dadurch feststellbar, daß die Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion H gleich Null ist.

|---------| {H,-G}=--0-

Für kanonische Variablen p, x gilt außerdem:

|-----------| {pj,xk}=-djk-

Die Vorteile der Poisson-Klammern liegt darin, daß sich viele Relationen in der Quantenmechanik wiederfinden. Sie „kupfert“ viele Sachen von der klassischen Physik ab.

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