7.4 Transformationsgruppen

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7.4 Transformationsgruppen

Sei T_k eine solche Transformation: |u'> = T_k|u> mit Q' = T_kQT_k^†, dann besagt Wigner, daß T_k (anti)unitär ist. Bilden die Transformationen {T_k|k = 1, 2, 3, ...} einen Gruppe G (T_kT_l = T_m), dann bilden die Transformations-Operatoren {T_k} eine sogenannte projektive Repräsentation von dieser Transformationsgruppe. Dies bedeutet, daß T_kT_l = exp(i_k,l^m)T_m mit _k,l^m gilt. Manchmal ist es möglich, die Phasen von T_k so zu wählen, daß = 0 ist. Dann bilden die Operatoren T_k eine Gruppe G, die isomorph zur Gruppe G ist, also G = G.

Betrachten wir nun eine kontinuierliche Gruppe mit Elementen T_₁ T (_n) mit _n ⁿ. Nehmen wir beispielsweise n = 1 an: ₁ D . Im Ursprung gelte T ( = 0) = I.

Zu jeder infinitesimaler Transformation gehört ein unitärer Operator, welcher sich infinitesimal vom Einsoperator unterscheidet, daß also T() = 1 - i. 1 ist hierbei ein unitärer und ein hermitescher Operator.

T(da) † q ------> q + dq ==> q + dq = T (da)qT (da) = q - ida [Q, q]

Damit folgt für den Kommutator:

idq [Q,q] = da

Man spricht im Zusammenhang von [,] auch von einem Generator.

Beispiel: Translationsuntergruppe eines Teilchens

Betrachten wir die Transformation T_x(a):

x '--> x- a, y '--> y, z '--> z

p = p, s '--> s

Es muß also gelten:

Tx(a)xTx(a)† = x- a

Tx(a)yTx(a)† = y

Tx(a)zTx(a)† = z

Tx(a)pTx(a)† = p

† Tx(a)sTx(a) = s

Betrachten wir also T_x() mit x = -. Dann gilt:

dx [Qx,x] = ida-= -i

[Qx, y] = 0, [Qx, y] = 0, [Qx, z] = 0, [Qx, p] = 0, [Qx, s] = 0

p Qx = -x mit [x,px] = ih h

^T (da) = ^1- -i^p da x h x

[ i ] ^Tx(a) = exp - h^pxa

Für die Translationsuntergruppe finden wir:

[ ] i-^ T(a) = exp - hP a

ist der Gesamtimpuls des Systems.

Bemerkung:

Führen wir zwei solche Translationen hintereinander aus:

T(a)T (b) = T(b)T (a) = T(a+ b)

Wir finden, daß diese Translationsgruppe G_trans im Hilbertraum ist isomorph zur Translationsgruppe G_trans im euklidischen Raum.

Beispiel: Gruppe der Punktspiegelungen

Es handelt sich um den Operatoren {1,S₀} mit S₀² = 1. Dann müssen folgende Transformationen gelten:

† P rP = -r

P pP† = -p

P sP † = s

Der Operator P hat die Eigenschaft, daß P² = 1 ist. Die P-Eigenwerte sind unimodular, || = 1.

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