11.1 Streuamplitude

Wir betrachten ein Teilchen der Masse m und der Energie . Für dieses Teilchen liege folgender Hamiltonoperator vor:

Des weiteren sollte ||V () r0 gewährleistet sein; damit ist das Coulombpotential von vorn herein ausgeschlossen. Im folgenden werden ebene Wellen mit und Eigenzustände von H mit bezeichnet:

• () = exp
• ⁽⁺⁾ exp + auslaufende Welle
• ^(-) exp + einlaufende Welle

Stationäre Streuzustände genügen der Schrödingergleichung H⁽⁺⁾ = E⁽⁺⁾:

f⁽⁺⁾ ist hierbei die Streuamplitude. Der differentielle Streuquerschnitt ist (nach MESSIAH) definiert nach:

^(-) und ⁽⁺⁾ sind Basisfunktionen des Hilbertraums, welcher die Streuzustände beschreibt. stehe für (,).

Hilfssatz:

und seien die stationären Lösungen zu den Potentialen U() und Û(). Konkret bedeutet dies:

= E und = E

b(-)() exp + b(-)()

a(+)() exp + fa(+)()

Und analoge Relationen gelten für b(+), a(-). Dann gilt:

= -, wobei b die Richtung von b und -a die Richtung von -a angibt wobei a = (a,a) und -a = ( - a, + a) gilt.

Beweis (Skizze, siehe Messiah II, 19.1.1):

Wir führen naiv eine komplexe Konjugation von Gleichung (1) durch.

Dies führt jedoch zu keinem Ergebnis. Deshalb:

Wir subtrahieren nun Gleichung (1)^*) von Gleichung (2):

Es bleibt ein Oberflächenintegral, das im Limes R mit dem asymptotischen Verhalten von , ausgewertet werden kann. Man findet:

Dies war zu zeigen.

Folgerungen für die Streuung am Potential V :

• Integraldarstellung der Streuamplitude
  

• f_a⁽⁺⁾(_b) = f_b^{(-) *} (-_a)

Beweis:

• Wähle im Hilfssatz Û = 0, U = V . sind dann ebene Wellen _b^(-) = _b = exp(i_e ^.). Weiterhin gilt ^(±) = 0, ⁽⁺⁾_a⁽⁺⁾.

• Wähle im Hilfssatz U = Û = V .