2.4 Spezifische Wärme von Festkörpern

Einsteins Modell:

Modellannahmen (Einsteinmodell):

1. N_A-atomiges Molekül, in (3N_A - 6) Vibrationsenergiefreiheitsgrade
2. Alle Schwingungen harmonisch, d.h. alle schwingen mit einer Frequenz _E und es besteht keine Kopplung zwischen Schwingungen im Kristall

Frage:

Antwort:

Um(T) = 3NA = 3NA . mit i = i

Nach wenig Mathematik folgt hieraus nun für die Wärmekapazität. Dazu setzen wir im folgenden aus vereinfachenden Gründen = . Die Schwingungszustandssumme q^vib, die im Nenner des Bruches steht, stellt die geometrische Reihe dar, welche folgenden Wert hat:

Im Zähler steht die Summe _{i = 0}ih_E ^. exp, deren Wert wir nicht kennen. Leitet man jedoch die Schwingungszustandssumme q^vib nach ab, so ergibt sich:

Abgesehen vom Vorzeichen stimmt die Ableitung der geometrischen Reihe, also von q^vib, mit der Reihe im Zähler des Bruches überein. Um nun den Reihenwert zu erhalten, leiten wir einfach den Wert der geometrischen Reihe nach ab. Da diese absolut konvergent ist, ist es egal, ob man zuerst den Reihenwert bildet und dann differenziert oder umgekehrt. Also erhalten wir:

Die Schwingungsenergie berechnet sich nun aus dem Quotienten der beiden Reihen, wobei wir das zusätzliche Minuszeichen kompensieren müssen:

(2.1)

Setzen wir nun in unsere ursprüngliche Formel U_m(T) = <_vib>^. 3N_A ein, so folgt:

Wir berechnen die Wärmekapazität C_V (T) als Ableitung der Inneren Energie U_m(T):

(2.2)

Mit dem hinteren Term führen wir eine Taylorreihenentwicklung durch:

Da die Potenzen immer größer werden und T im Nenner steht, gilt für T:

(2.3)

Dann folgt daraus: