4.2 Relativistische Kinematik

4.2.1 Spezielles Relativitätsprinzip

Alle Inertialsysteme gleichwertig, Naturgesetze haben gleiche Gültigkeit
In jedem Inertialsystem hat die Vakuumlichtgeschwindigkeit den gleichen Wert c.

4.2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

OLAF RÖMER 1675:
Messung des Zeitpunktes der Verdeckung des Mondes Jupiters:

Ein halbes Jahr später:
$t2 = t1 + 15 min$
Damit folgt für die Lichtgeschwindigkeit:
$D1 +-l--D1- L-- 3.108km- km- c = t2- t1 = Dt ~~ 103s = 300000 s$
Römer hatte c = 200000 berechnet!
FIZEAU (1849):

Licht wird vom Zahnrad absorbiert, wenn t = . Damit errechnet sich c folgendermaßen:
$|----2L-| |c = ---| -----Dt-|$
Heute kann man c sehr genau bestimmen:
$m- c = 299 792 458 s < oo !$
Beweis, daß Lichtgeschwindigkeit c unabhängig vom Bezugssystem:
Betrachten wir hierzu das Experiment von MICHELSON, MORLEY (1887) (Idee von MAXWELL):

Das System befindet sich auf der Erde, d.h. v = 30. Die Laufzeit zwischen Spiegel und Halbspiegel beträgt:
$L L 2.L .c 2L 1 ta = c--v-+ c+-v-= c2--v2 = -c-.1---v2- c2$
Die Laufzeit von b.) beträgt:
$v cosf = c$
Wir erhalten außerdem für die Laufstrecke s:
$-2L- s = sin f$

$2L 2L 2L tb = c.sin-f = c V~ 1----cos2f-= V~ ----v2- c 1 - c2$

$( ) 2L 1 1 Dt = ta- tb =-c- ---(v)2-- V~ ---(-)2- /= 0 1- c 1- vc$
Dabei wird folgende Beobachtung gemacht:
$Dt = 0$

4.2.3 Wiederholung: Galileitransformationen

x'(t) = x(t)- v .t } y'(t) = y(t) Fu¨r Bewegung von S'mit Geschwindigkeit v in x- Richtung z'(t) = z(t)

dx'(t)= dx(t)- v = v'(t)- v dt dt

MAXWELL (1864):
Er beschreibt eine elektromagnetische Welle, die sich mit v = c ausbreitet, unabhängig vom Bezugssystem!
EINSTEIN (1905):
EINSTEIN geht von der Notwendigkeit aus, Metrik von Raum und Zeit zu verändern.

4.2.4 LORENTZtransformation

x'= (x- vt).g y'= y } z'= z F¨ur Bewegung in x- Richtung ' ( vx) t= t- c2 .g

g = V~ -1---; auch b =_ v 1- vc22 c

Allgemein gilt:

' =

t' =

Ist die Lichtgeschwindigkeit invariant?

r(t)2 = x2(t)+ y2(t)+ z2(t) = c2 .t2

Im System S’ haben wir:

r'(t)2 = x'2(t) +y'2(t)+ z'2(t) = g2x2 -g2 .2xvt+ g2v2t2 +y2 + z2 + x2- x2 = ---c2t2--- ( ) ( 2 ) = (g2 - 1)x2- g2 .2x .v.t+ (g2 .v2 + c2)t2 = --1---- 1 x2- g2 .2xtv + --v---+ c2 t2 = 1 - vc22 1 - vc22 v2 ( vx v2x2) = -2g2x2- g2 .2vxt +g2 .c2 .t2 = c2 g2t2- g2 .2t-2-+ g2-4 = c ( ( ))2 c c = c2 g . t- vx- = c2t'2 c2

(4.1)

Es handelt sich also ebenfalls um eine Kugelwelle mit Lichtgeschwindigkeit c.

4.2.5 Relativistische Effekte

Die Zeitdilatation
Wir betrachten folgende Uhr:

Wenn der Lichtpuls auf die Photozelle auftrifft, wird ein neuer Puls ausgesendet: Die Periodendauer ist T' = . Für den Beobachter ergibt sich T = t₃ - t₁.

$V~ -----(-----)2 L = L'2 + v.T- = T-.c 2 2$
Hieraus ergibt sich:
$c2 v2T2 2L' g T2 --= L'2 +-----==> T = V~ -2--2-= 2L'-- 4 4 c - v c$
Mit L' = folgt T = ^. T'; man spricht von der Zeitdilatation.
Anwendung: Kosmische Höhenstrahlung

Wir betrachten den Zerfall von Myonen (). Die Lebensdauer eines Myons beträgt ' = 2,2 ^. 10^-6 s. Für die zurückgelegte Lichtstrecke ergibt sich L' = ^.c 660m. Im System S (Ruhesystem der Erde) gilt jedoch aufgrund der Zeitdilatation = ^.'. In unserem Falle gilt = 50 (v ^. 0,9998 ^.c) und damit im System S:
$tm = 50 .2,2 .10-6s = 110.10-6 s$
Myonen legen im System S also folgende Wegstrecke zurück:
$' -6 8 m L = g .tm .v = 110.10 s .3.10-s ~~ 33 km$

Einschub: Bestimmung von
Längenkontraktion
Betrachten wir als Beispiel einen Stab der Länge L_S.

Im System S' gilt:
$x'2 = g(x2- vt2) ==> Ende vom Stab$

$' x1 = g(x1- vt1) ==> Anfang vom Stab$
Die Längenmessung wird durchgeführt, indem man beide Enden zur gleichen Zeit t₂ = t₁ mißt. Hieraus ergibt sich:
$x'2- x'1 = g .(x2- x1)$

$L'= g .L bzw. L = 1-L' g$
Man spricht von der Längenkontraktion.
Beispiel:

Geschwindigkeit eines Raumschiffes, das Galaxis innerhalb von 30 Jahren durchlaufen soll.
- Rakete: Ruhesystem S
- Galaxis: Bewegtes System S'
Damit erhalten wir L' = 6 ^. 10²⁰ m und T_R = 30 ^. 3,16 ^. 10⁷ s 10⁹ s. Für die Wegstrecke L im System des Raumschiffs gilt L = . Mit
$' V~ ---v2- ' -Lg- ' --1--c2- v = TR = L . TR$
erhalten wir dann:
$L'.c ( ) v'= V~ -'2---2-2 = 0,9999999c ~~ c .1 - 10-7 L + cT R$
Auf der Erde gesehen ergibt sich eine Zeit von:
$L' TE = v' ~~ 64000Jahre$
Addition von Geschwindigkeiten

$x(t) = -u .t$

$' x (t) = g (x(t)- v.t) = g (-u .t -vt) = - g(u + v) t$

$( ) ' v.x(t) ( u.v) t = g t - c2 = g .t 1+ c2$

$' u'= x'= - -u+uv.v;| u'|< c t 1+ c2$

Beispiel:
Es sei u = 0,8c und v = 0,8c. Damit folgt: $|u'|= 1,6c = 0,98c 1,64$
Es gibt somit keine Überlichtgeschwindigkeiten!