3.2 Strme und Schaltkreise

3.2.1 Das OHMsche Gesetz

Die Kraft auf q berechnet sich nach:

F = q.E = m .a

Die Bewegung der Elektronen in Richtung Anode ist wegen Sten an Atomen im Mittel gleichfrmig (Drift). $/\$ ist die mittlere freie Weglnge der Elektronen im Leiter und von der Grenordnung 20 ^.R (R $/\ =$ Atomradius). ist die mittlere Zeit zwischen zwei Sten. Damit folgt:

/\ t = --- <v>

<v> ist hierbei die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen im Leiter zwischen zwei Sten.

<v> q.E- a = t = m

Hieraus ergibt sich dann die Driftgeschwindigkeit v_D und somit die Stromdichte:

vD = q-.E .t m

n-.q2 .t j = n .q.<v> = m .E =_ se .E

_e ist die elektrische Leitfhigkeit. Makroskopisch gesehen folgt mit E = :

s .A 1 I = -e---.U =_ s .U =_ -.U L R

Folgende Gren sind wichtig:

Leitwert: $1 s = R-$
Widerstand: $U- R = I$

$V [R] = 1_O_ = 1 A$
Dieser hngt von der Form des Leiters ab.
Spezifischer Widerstand: $A- r = R. L$

$_O_-.m2- [r] = 1 m = 1_O_m$
Der spezifische Widerstand hngt jedoch nur vom Material ab.

Beispiel:

Ag: = 0,016 ^. 10^-6 m
Cu: = 0,017 ^. 10^-6 m
Fe: 0,1m
Graphit: 14m
Porzellan: 3 ^. 10¹⁶ m

3.2.2 Temperaturabhngigkeit von Widerstnden

Die Temperatur manifestiert sich in der thermischen Bewegung der Atome. Wir erwarten, da $/\$ abnimmt, wenn T zunimmt. Fr Metalle gilt folgende Temperaturabhngigkeit:

o r -~ r0(1 +aT ),T in C

a /\ = Temperaturkoeffizient

Typisch ist ein von etwa 4 ^. 10^-3 . Wir erwarten bei konstanter Spannung U:

Sonderfall: Supraleitung

Im Jahre 1911 wurde von K. ONNES in Leiden (1913 Nobelpreis) beobachtet, da bei Abkhlung von Quecksilber auf 4,2 K der spezifische Widerstand gegen 0 geht.

Dieser Effekt ist auf die Bewegung von Elektronenpaaren (Cooper-Paare) durch polarisiertes Kristallgitter zurckzufhren.

Beispiel:

Bei verschiedenen Metallen wurden hierbei folgende Temperaturen T_c aufgenommen:


Element	T_c[K]


Nb	9,4
Pb	7,2
Tn	4,5
Hg	4,2
Ir	0,14


CuS	1,6

Sonderfall Halbleiter:

Betrachtung: Bei Atomen in groem Abstand
Um Elektron freizuschlagen, damit es wandern kann, ist eine Ionisation ntig.
$DE = O(eV)$
Betrachtung: Viele Atome im Verband
Wegen gegenseitiger Strungen der Atome gibt es keine diskreten Energieniveaus, sondern Bnder.

Isolatoren:
Es befindet sich kein Elektron im Leitungsband; auerdem hat dieses einen groen Abstand zum Valenzband. Auch bei groen Spannungen fliet somit kein Strom.
Leiter:
Im Leitungsband befinden sich permanent Elektronen. Starke Strme sind somit schon bei kleinen Spannungen mglich.
Halbleiter:
Im Halbleiter ist nur eine geringe Energie ntig, um Elektronen ins Leitungsband zu heben.
$( ) DE-- n(T ) = n0 .exp - kT$

Konsequenz:

3.2.3 Stromleistung und Energie

Leistung:

Die Leistung P ist definiert als Arbeit/Zeit. Dies gilt allgemein sowohl fr die Mechanik als auch fr die Elektrodynamik.

DW dW P = lim ---- = ---- Dt'-->0 Dt dt

Mit W = q ^. U folgt:

P = dW--= U .dq = U .I dt dt

[P ] = 1VA =_ 1 W (Watt)

Energie:

integral t2 W = P dt = U .I .Dt t1

[W ] = 1J = 1 Ws

2 P = U .I = I2R = U-- R

2 U-2 W = I RDt = R Dt

3.2.4 Schaltungen, Netzwerke

Symbole
- Leiter (R = 0):
- OHMscher Widerstand:
- Lampe:
- Schalter:
- Erde (U = 0):
- Spannungsquelle:
- Kondensator:
- Spule:
- Meinstrument:
- Diode:
Potentiometer

Das Potentiometer erlaubt, beliebige Spannungen bis maximal U₀ abzugreifen.
$x Rx = L .R$

$x Ux = L-.U0$
Die KIRCHHOFFschen Gesetze
Schaltet man mehrere Leiter zusammen, erhlt man ein Netzwerk.
- Knotenregel:
  An jedem Knoten ist die Summe der Strme gleich 0. (Folgt aus Kontinuittsgleichung)
  $sum Ii = 0 i$
- Maschenregel:
  An einer Masche, die keine Spannungsquelle enthlt , ist die Summe der Spannungen gleich 0.
  $sum Ui = 0 i$
  Mit eingebauter Spannungsquelle der Spannung U₀ folgt:
  $sum Ui = U0 i$

Anwendungen:

Serienschaltung von Widerstnden:

$U0 = U1 + U2 = I0R1 + I0R2 = I0Rx$
Somit kann der Widerstand R_x berechnet werden:
$Rx = R1 + R2$
Generell gilt:
$|----- sum ----| |Rx = Rk | -------k----|$
Parallelschaltung von Widerstnden:

$I0 = I1 + I2$

$U0 = I1R1 = I2R2 = (I1 + I2).Rx$
Hiermit folgt:
$(U0 U0) U0 = R--+ R-- .Rx 1 2$

$1--= -1-+ -1- Rx R1 R2$
Hier gilt generell:
$|1---- sum --1-| |---= ---| -Rx----k-Rk--$
Widerstandsmessung mit WHEATSTONEscher Brckenschaltung:

Die Widerstnde R₂ und R₃ werden so lange abgeglichen, bis I = 0 ist. Dann gilt:
$Ux = I1Rx = I2R3$

$U = I (R + R ) = I(R + R ) 0 1 1 x 2 2 3$
Daraus ergibt sich dann folgendes Verhltnis:
$Rx-= R1-+-Rx- R3 R2 + R3$
Damit ergibt sich fr R_x:
$R = R1 .R3 x R2$
Mit R₂ + R₃ = R_p ergibt sich fr das Potentiometer:
$x- R3 = LRp$

$L - x R2 = --L--Rp$
Somit gilt:
$|--------------| Rx = R1 .--x-- | ---------L---x--$
Auf- und Entladung eines Kondensators:
- Aufladung:
  
  $U0 = UR(t)+ UC(T) = I(t)R0 +UC(t)$
  Damit ergibt sich fr I(t):
  $U0- Q(t) I(t) = R0- R0C$
  
  $dI-= - -1--I(t) dt R0C$
  Wir verwenden folgenden Ansatz:
  $( ) I(t) = I exp - t- 0 t$
  Dieser Ansatz wird in die Differentialgleichung eingesetzt, womit dann folgt:
  $( ) ( ) - 1-I exp - t- = - -1--I exp -t- R 0 t R0C 0 t$
  Und somit ergibt sich fr die sogenannte Zeitkonstante :
  $|---------| |t = R0 .C| -----------$
  
  Die Lsung lautet:
  $|---------------------| | ( t ) | |I(t) = I0 .exp - R-C- | -----------------0----$
  
  $( ) |---(-------(------))-| -t-- | -t-- | UC(t) = U0 - I0R0exp - R0C = |U0 1- exp - R0C | ----------------------$
- Entladung:
  Nach Aufladen von C wird S₁ geffnet und S₂ geschlossen.
  
  $UC(t) = I(t).R1 = - dQ-R1 dt$
  
  $dU UC(t) .C = ----C .R1 dt$
  Die Lsung der Differentialgleichung ist:
  $|--------------(------)-| |UC(t) = U0 .exp - --t- | ------------------R1C---|$
  
  $|---------------------| | U0 ( t )| I(t) = R-.exp -R--C | --------1---------1----$
  
  $|------------------| ( -t--) | ( -t--) | Q(t) = Q0 .exp - R1C = U0 .C .exp - R1C | --------------------$
  
  Zeitkonstanten: Typische Werte
  - Fr Verstrker: $C = 1nF } - 9 6 -3 R = 1M_O_ t = R .C = 1nF .1M_O_ = 1.10 F.10 _O_ = 1 .10 s = 1ms$
  - Fr Hochfrequenzelektronik $C = 10 mF } R = 10k_O_ t = 100ns$

3.2.5 Meinstrumente

Strommessung:
- Galvanometer
  Dabei handelt es sich um das gebruchlichste Gert. Das Galvanometer nutzt Krfte zwischen Magnetfeld und Strom aus.
  
  Das Drehmoment auf die Spule ist proportional zu B ^. I. Die Empfindlichkeit ohne Stromverstrker liegt im Bereich von mA.
- Hitzedraht-Ampèremeter (I > 0,1A)
  Nutzt thermische Verlngerung eines stromdurchflossenen Leiters
- Weicheisen-Instrument
  
  Abstoung zweier magnetisierter Eisenkrper in Spule
- Elektrolytische Abscheidung
Anwendung: Messung des Stromes I in einem Schaltkreis
- Mefehler: $I = --U0-- = I0 .--R--- R + Ri R + Ri$
  
  $==> Ri « R$
- Bereichserweiterung:
  
  Abzweigung von I₁, Korrektur der Skala: Aus I₁R_z = I₂R_i folgt dann:
  $( ) Ri- I = I2 1+ Rz$
Spannungsmessung ber R mit Voltmeter:

$I0 = I1 + I2$

$UR = I1 .R = I2 .Ri$
Damit ergibt sich folgender Mefehler:
$UR = U0 --Ri-- R + Ri$
Es gilt also R_i » R.
- Bereichserweiterung:
Messung sehr groer Widerstnde: Bestimmung von = R ^. C bei Kondensatorentladung