8.1 Intrinsische (undotierte) Halbleiter

(2m* )32 V~ ------- DV (E) = ---p23-- EV - E f¨ur E < EV 2p h

(2m*n)32 V~ ------- DL(E) = 2p2h3 E - EL f¨ur E > EL

m_p^* und m_n^* sind die effektiven Massen von Löchern bzw. Elektronen. Die Ladungsträgerkonzentration ergibt sich aus

oo integral E integral V n = DL(E)f (E,T)dE und p = DV (E)(1- f(E,T )) dE EL - oo

mit der Fermi-Verteilung

( ) f(E,T) = ---(--1-)---- ~~ exp -(E---m) exp Ek-Tm + 1 kBT B

Dies gilt für vernünftige Temperaturen. In der Näherung handelt es sich hierbei um ein klassisches Gas; wenige Elektronen und Löcher sind angeregt, „nicht entartet“. Wir bestimmen das chemische Potential aus der Elektroneutralität n = p:

* 3 integral oo ( ) * 3 ( ) integral oo ( ) n = (2m-n)2 V~ E---ELexp m---E dE = (2mn)2-exp -m-- V~ E--EL-exp - -E-- dE = 2p2h3 kBT 2p2h3 kBT kBT ( EL )3 ( ) EL m*nkBT- 2 EL---m- = 2 2ph2 exp - kBT

(8.1)

Analog gilt:

(m* k T )32 ( ) p = 2 --p-B2- exp EV---m- 2ph kBT

Aus n = p erhalten wir:

|---------------------(---)-| | EL-+-EV- 3 -m*p | m = 2 + 4kBT ln m*n | -----------------------------

Beispielsweise gilt für GaAs:

m*n- m*p,schwer m*p,leicht m = 0,067, m = 0,45, m = 0,082

m*p m*n ~~ 10, ln(10) ~~ 2,3

Bei 300K gilt:

3 kBT .2,3 ~~ 45meV « Eg = 1,52eV 4

Somit ist die obige BOLTZMANN-Näherung in Ordnung. Betrachten wir nochmals die Konzentration der Ladungsträger:

( * *)32 ( kBT-)3 ( EL---EV-) n .p = 4 m nm p 2ph2 exp - kBT

3( ) ( ) n = p = 2 (m*nm*p)4 kBT- exp - -Eg-- oc exp(T ) mit Eg = EL- EV 2ph3 2kBT

Für Silizium Si gilt zum Beispiel bei 300K, daß E_g = 1,12eV ist. Damit erhalten wir n_intrinsisch 1,5 ^. 10¹⁰ ; Si ist damit untauglich für Halbleiter-Bauelemente.

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