3.11 Komplexe Zahlen

Es gilt $N < Z < Q < R < C$ . Wir wollen folgendes Gleichungssystem lösen:

10 = u+ v

41 = u .v

==> u = 5+ 4 V~ --1

--- ==> v = 5 - 4 V~ - 1

V~ - V~ -------- V~ ----- 1 = 1 = (- 1)(- 1) = (- 1)2 = -1 Hoppla!

Da Gleichungssystem besitzt also in $R$ keine Lösung. $R$ soll zu $C$ erweitert werden $(R < C)$ derart, daß:

$x2 + 1 = 0$ lösbar ist: Eine Lösung wird durch i bezeichnet $(i (- /R)$ .
$C$ soll mit + und „ $.$ einen Körper bilden.
Diese Operationen sollen - eingeschränkt auf $R$ - die schon bekannte Multiplikation und Addition liefern.

Solch eine Erweiterung muß notwendig folgende Elemente enthalten:

x,y,i mit x (- R,y (- R und R < {z = x+ iy| x,y (- R} < C -------- -------- ~C

In $~C$ wird wie im Reellen gerechnet, zu beachten ist zusätzlich $i2 = -1$ .

$z = x+ iy$ , $w = u+ iv$ $(x$ , $y$ , $u$ , $v (- R) (- ~C$
Dann folgt für die Gleichheit $z = w$ von $z$ und $w$ : $(x = u) /\ (y = v)$
Beweis:
$x + iy = u+ iv$
Wir nehmen an,daß $y /= v$ . Dann folgt daraus für i:
$i = x--u- (- R v- y$
Die imaginäre Einheit i wäre also im Zahlenbereich $R$ der reellen Zahlen, was ein Widerspruch darstellt. Daraus ergibt sich also:
$y = v ==> x = u$
$z (- ~C$ sind eindeutig $x$ und $y$ mit $z = x +iy$ zugeordnet. Hier liegt also eine beliebige Zuordnung zwischen $(x,y) (- R2$ und $z = x+ iy (- ~C$ vor.

3.11.1 Definition von Addition und Multiplikation in $C~$

Es seien $z = x +iy$ und $w = u+ iv$ mit $x$ , $y$ , $u$ , $v (- R$ . Dann wird Addition und Multiplikation folgendermaßen definiert:

Addition:

$z + w := x+ u + i(y+ v) (- C~$
$Re (z + w) = Re z + Re v$
$Im (z + w) = Im z + Im v$

Multiplikation:

$z .w = xu - yv+ i(yu + xv) (- ~C$
$0 = 0+ i0$ ist neutral bezüglich der Addition: $z + 0 = z A z$
$- z = (-x)+ i(- y)$ ist invers zu $z$ bezüglich der Addition: $z + (- z) = 0$

$===>$ $(C~, +)$ ist abelsche Gruppe.

$(0 /=)1 = 1+ i0$ ist neutral bezüglich der Multiplikation: $1z = z A z$ .
$z /= 0$ , $z = x + iy$ hierzu bezüglich der Multiplikation ist $1 x ( - y ) z = x2-+y2-+ i x2-+-y2$ invers zu $z$
$(~C < {0}.)$ ist eine abelsche Gruppe.

$===>$ $(C~, +)$ ist abelsche Gruppe.

Zusätzlich gilt für $z$ , $w$ , $z (- ~C$ : $z(w + z) = zw + zz$ .
$~C$ ist ein Körper, der die Forderungen 1./2. erfüllt.

$~C = C$ ist der Körper der komplexen Zahlen.

Weitere Rechenregeln:

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl ist festgelegt durch: $V~ ------- |z|= x2 + y2$
Der Betrag von $z$ ist der Abstand von $z$ zum Ursprung $O$ der Gaußschen Zahlenebene.
Konjugiert komplexe Zahl: $- z = x- iy$
$z$ ist $z$ gespiegelt an der reellen Achse.
Mit $z = x + iy$ und $z = x - iy$ folgt: $zz = x2 + y2 = |z|2$

$1 1 x = -(z + z),y =-(z- z) 2 2i$

$- - Re(z) = Re(z), Im(z) = - Im(z)$

$1 - 1- - Re(z) = 2(z + z), Im(z) = 2i(z- z)$

$Re (zw) = Re (zw)= Re (zw)$

$-- 1( -- --) 1 -- - - Re(zw) = 2 zw + zw = 2 (zw + wz) = Re(zw)$
Rechnen mit Beträgen:
- $----- - -- z + w = z + w$
- $--- - -- zw = z .w$
- $z (- R$ $<==>$ $Im(z) = 0$ $<==>$ $z = z$
- $z = z$ , $|z|= |z|$ , $(| z|)2 = zz = zz = |z| 2$
  Im Reellen gilt $2 2 |x |= x$ , aber im Komplexen ist im allgemeinen $2 2 |z |/= z$ .
- $z /= 0$ : $- - 1 = -z = -z2 = -2-x-2-+ i--2-y-2- z zz |z| x + y x + y$
- $----- (1 ) z 1 (w-)- w- z = zz = z z- = z-$

Satz 1:

$z$ , $w$ seien komplexe Zahlen. Dann gelten:

$|wz |= |w ||z|$
$||1|| 1 ||w || |w| ||z||= |z|==> |z|= |z|-$
$|Re(z) < |z|$ , $|Im(z)|< |z|$
$|z + w|2 = |z| 2 + 2Re(zw) + |w |2$
$|z + w|< |z|+ |w |$ , $||z|- |w ||< |z + w |$
(Dreiecksungleichung)

Abstände:
$|z- w|$ ist der Abstand zwischen $z$ und $w$ . Es sei $a (- C$ :
- Gesucht sind die Zahlen $z (- C$ mit $|z- a|= 3$ : Kreis um $a$ mit Radius 3
- Gesucht sind die Zahlen $z (- C$ mit $|z- a|< 3$ : Inneres des obigen Kreises
- Gesucht sind die Zahlen $z (- C$ mit $|z- a|> 3$ : Äußeres des obigen Kreises
Betrachten wir folgendes Beispiel: Was bedeutet ${z (- C||z + 4|< |2z + 2| }$ geometrisch?
$2 2 |z + 4| < 4|+1|$

$|z| 2 + 16 + 2.4Re(z) < 4(| z|2 + 1 +2Re(z)) = 4|z| 2 + 4+ 8Re(z)$

$2 2 12 < 3| z| -- > 4 < |z|-- > 2 < |z|$
Kehrwerte $- - ( ) 1 = -z = -z- Re 1 = -1-Re(z), Im(z) = -1-(-Im(z)) z zz |z| 2 z |z|2 |z| 2$

$| | ||1|| -|z| |z| 1-- |z|= |z| 2 = |z| 2 = |z|$
Satz 1
Folgerung aus Satz 1 $|Re(z)| 2 < (Re(z))2 + (Im(z))2 = |z| 2 --> |Re(z)| = |z| 2 --> |Im(z) |< |z|$

$a (- R,e > 0,b (- C :$

$|a|< e <--> -e < a < e$

$|a|< |b|<--> - |b|< a < |b|$

$- |z|< ± Re(z) < |z| - |z|< ±Im(z) < |z|$

$2 - -- - -- - -- 2 2 -- --- -- 1 - |z± w| = (z±w)(z±w) = zz+w w± wz± zw = |z|+ |w|± 2Re(zw) (w z = zw, Re(z) = 2(z+z)$
Dreiecksungleichung $|z± w |2 = |z|2 + |w |2 ± 2Re(zw) < |z| 2 +|w|2 + 2|z||w|= (| z|+ |w|)2$

$-- -- -- -- Re(zw) < |Re(zw)|< |zw |= |z||w |= |z||w |$

$Re(zw) > -|zw|= - |z||w|$

3.11.2 Polardarstellung komplexer Zahlen

$f$ wird zur positiven reellen Achse gerechnet.

Definition:

Es sei $z = x + iy (- C$ , $z /= 0,(x,y (- R)$ . Es gibt genau eine Zahl $f$ mit den Eigenschaften $x = |z|cosf$ , $y = |z| sinf$ für $0 < f < 2p$ . Diese Zahl $f$ heißt das Argument von $z$ : $arg(z)$

Ergebnis:

Jede komplexe Zahl $z /= 0$ kann in der Form $z = r(cosy +isiny)$ dargestellt werden, wobei $r = |z|$ und $y = arg(z)+ 2kp (k (- Z)$ ist.

Es sei $z = r1(cosf1 + isinf2)$ und $w = r2(cosf2 + isinf2)$ gegeben. Dann gilt:

Multiplikation: $r1r2(cosf1 cosf2- sin f1sin f2)+ i(cosf1 sinf2 + cos f2sin f1)$
Additionstheorem: $r1r2(cos(f1 + f2)+ isin(f1 + f2))$
Insbesondere gilt:
$z2 = r2(cos(2f)+ isin(2f))$

$zn = rn(cos(nf) +isin(nf))$
Division: $z-= r1(cos-f1 +-isinf1)-.r2(cosf2 +-isinf2) = r1(cos(f -f )+isin(f -f )) w r22 r2 1 2 1 2$

Satz 2 (Satz 6.10, Seite 65):

$z = r(cosf + isinf)$ , $w = r(cosy + isiny)$ seien gegebene komplexe Zahlen $(r = |z|> 0,r = |w |> 0)$ . Es gelten:

$z = w <--> r = r$ und $f = y+ 2kp$ mit $k (- Z)$
$z = r(cos(- f)+ isin(- f)) = r(cosf + isinf)$
$1 = 1(cos(- f)+ isin(- f)) z r$
$zw = rr(cos(f+ y) + isin(y+ f))$
$zn = rn(cos(n .f)+ isin(n .f))$ mit $n (- Z$
Dies ist die sogenannte Moivresche Formel.

Beweise:

Vorausgesetzt werden:

cos(f) = cos(- f)

sin(f) = - sin(- f)

sin(f + y) = sin(f) cos(y) +cos(f)sin(y)

cos(f + y) = cos(f)sin(y) - sin(f)cos(y)

Zu 1.: $rcos(f) + isin(f) = rcos(y)+ irsin(y)$

$rcos(f) = rsin(y)$

$rsin(f) = rsin(f)$

$--> f = y + 2kp,k (- Z$
Zu 2.: $- z = r(cos(f)+isin(f)) = zz =-------r2-------= ------r-------= r(cos(-f)+i sin(-f)) z r(cos(f)+ isin(f)) cos(f)+ isin(f)$
Zu 3.: $1 1 1 z = r(cos(f)-+-isin(f)) = r (cos(-f)+ isin(- f))$
Zu 3.: $zw = rr((cos(f)cos(y) -sin(f)sin(y))+ i(sin(f)-cos(y)+ cos(f)sin(y)) cos(f+y) sin(f+y)$
Zu 4.:
- 1.Schritt: $n (- N U {0}1 = 1, n = 0 (wahr)$
  - Voraussetzung: Formel für ein beliebiges $n > 0$
  - Behauptung: Formel für $n + 1$ $zn+1 = znz = rn(cos(f)+ isin(f))r(cos(f)+ isin(f))$
    
    $rn+1(cos((n + 1)f)+ isin((n+ 1)f))$
- 2.Schritt: $n (- Z,n < 0-- > n (- N$
  
  $n (1 )-n (1 )-n n z = z = r(cos(f)+ isin(- f) = r (cos(nf)+ isin(f))$

Geometrische Übung:

Es ist $zw$ zu konstruieren (ähnliche Dreiecke).

Gegeben sei $a (- C$ , $n (- N$ . Gesucht sind alle $u (- C$ mit $n z = a$ . Jede Lösung dieser Gleichung heißt $n$ -te Wurzel aus $a$ .

a = |a|(cos(a)+ isin(a)),a = arg(a) (- [0,2p) } n z wird in Polarform zu z = r(cos(f) +isin(f)) gerechnet. r (cos(nf)+isin(nf) = |a| (cos(a)+isin(a))

$r$ und $f$ sind gesucht!

==> V~ n|a| ,nf = a + 2kp mit k (- Z

f = a+ 2kp mit k (- Z n n

Satz:

Es seien $a (- C$ , $a /= 0$ und $n (- N$ gegeben. Die Gleichung $zn = a$ hat genau $n$ verschiedene Lösungen und zwar:

$( ( ) ( )) V~ n- -n- a- 2kp- a- 2kp- a = zk = |a| cos n + n + isin n + n$ , wobei $k = 0$ , 1, 2, $...$ , $n - 1$ und $a = arg(a)$ ist.

Satz:

Es sei $a = |a|cos(a)+ isin(a) (- C /= 0$ ; $a = arg(a);n (- N$ .

Die Zahlen $V~ ---( ( ) ( )) zk = n|a| cos a-+ 2kp- + isin a-+ 2kp- n n n n$ mit $k = 0$ , 1, $...$ , $n - 1$ sind die (verschiedenen) Lösungen der Gleichung $n z = a$ . Die Zahlen $zk$ liegen auf dem Kreis um $O$ mit dem Radius $n V~ --- |a|$ . Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen $n$ -Ecks.