3.10 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.10 CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung

Gegeben sind $a1$ , $a2$ , $...$ , $ak$ , $b1$ , $...$ , $bk (- R$ . Dann gilt die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung:

|---------- |_ ------ _| - |_ ----- _| | | sum k V~ sum k 2 V~ sum k 2 | | |ajbj|< |_ aj _| |_ bj _| | |j=1 --j=1---- --j=1-- | | a b | -------------------------------

Beweis:

Wir können schreiben: $k -1- sum |ab |< 1 ab j=1 jj$ für $a = 1 j j$ und $b = j j$ . Aus $a = 0$ oder $b = 0$ folgt $aj = 0$ $A$ $j$ oder $bj = 0$ $A$ $j$ . In diesem Fall ist nichts zu beweisen. Wir ziehen die Konstanten $a$ und $b$ in die Summe:

sum k|a b| ||-j j|| < 1 j=1 a b

Es gilt die Dreiecksungleichung:

x, y (- R : |x| < |y|==> ||x|- |y||< |x ± y|< |x|+ |y|

Außerdem gilt folgende Abschätzung:

V~ -- 1 x > 0,y > 0 : xy <-(x +y) 2

Mit diesen Erkenntnissen folgt nun mit $2 x = aj2 a$ und $2 y =-bj2 b$ :

| | ||aj bj|| ||1 (a2j b2j)|| ||-a b|| < ||2 a2-+ b2-||

Wir summieren diese Ausdrücke auf und erhalten:

sum k | | ( sum k| 2 | sum k| 2|) ||aj .bj||< 1 ||aj-||+ ||bj|| j=1 ab 2 j=1 a2 j=1 b2

Für $a1$ , $...$ , $ak$ , $b1$ , $...$ , $bk (- R$ :

|_ ----- _| |_ ----- _| sum k sum k sum k |albl|< |_ V~ a2l _| |_ V~ b2n _| l=1 l=1 n=1

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]