3.9 Betrag einer reellen Zahl/Ungleichungen

3.9.1 Vorzeichenfunktion

3.9.2 Betragsfunktion

Es sei die Funktion als sogenannte Betragsfunktion definiert. Für die gibt es verschiedene Schreibweisen:

Des weiteren gelten folgende Beziehungen:

Satz:

Beweis:

Satz:

Beweis der Dreiecksungleichung:

Wir verwenden für den ersten Teil einen Trick:

Weiterhin folgt:

Daraus ergibt sich nun der zweite Teil der Ungleichung:

Folgerung:

Es sei , , , :

Beweis:

• Induktionsanfang:

  Für folgt die Identität . Diese Aussage ist wohl wahr.

• Induktionsschluß:
  • Induktionsvoraussetzung:

  • Induktionsbehauptung:

• Induktionsbeweis:

  Durch Anwenden der Dreiecksungleichung ergibt sich schließlich:

  

Bemerkung:

Für , gilt .

Gegeben sind und . Für welche gilt ?

1. Fallunterscheidung:
   

   Daraus folgt dann:

   

2. Geometrisch:

   

3. 

   Quadriere die Ungleichung :

   • Quadratische Ungleichung
   • 

     und

     und Dies ist unmöglich!

Satz:

Gegeben sind und . Dann gilt:

3.9.3 Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel (GAM-Ungleichung)

1. 

   Gleichheit gilt nur für: .

2. 

   Gleichheit gilt nur für: .

Beweis:

1. 
2. Setze in