3.8 Der binomische Satz

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3.8 Der binomische Satz

Es sei $n (- N$ , $t (- R$ . Dann gilt folgende Beziehung:

$( ) n sum n n k (1+ t) = k t k=0$ mit $[( ) ( ) ( )] n n n+ 1 k- 1 + k = k$

\text{[math]}

Für $n = 6$ gilt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1+t)(1+t)(1+t)(1+t)(1+t)(1+t) = 6 .t0+ 6 t1+ 6 t2+ 6 t3+ 6 t4+ 6 t5+ 6 t6 0 1 2 3 4 5 6

Es sei $x$ , $y (- R$ . Setze oben $x t =-- y$ :

( ) ( ) x- n sum n n k -k 1 + y = k x y k=0

Wir multiplizieren mit $n y$ durch und erhalten:

( )n sum n ( ) yn 1+ x- = n xkyn-k y k=0 k

Dann kann die Gleichung noch folgendermaßen umgeformt werden, wobei folgt:

|--------------------------------------| | sum n (n ) oo sum (n) | (x + y)n = xkyn-k = xn-kyk| ----------k=0--k----------k=0--k---------

3.8.1 PASCALsches Dreieck

sum n ( ) (1+ t)n = n tk k=0 k

$t = 1$ : $n sum n (n ) oo sum (n) 2 = k = k (*) k=0 k=0$
$t = - 1$ : $( ) ( ) sum n k n oo sum k n 0 = (- 1) k = (- 1) k (**) k=0 k=0$

Wir addieren die Ausdrücke $(*)$ und $(**)$ :

oo ( ) oo ( ) n sum n ( k) sum n 2 = k 1+ (-1) = 2 2k k=0 k=0

n- 1 sum oo ( n) 2 = 2k k=0

Die Ausdrücke $(*)$ und $(**)$ werden subtrahiert:

( ) ( ) n oo sum n ( k) sum oo n 2 = k 1- (1) = 2 2k + 1 k=0 k=0

Übung:

Es sei zu zeigen, daß für $n$ , $k (- N$ gilt:

n+k sum - 1( j ) (n + k) k - 1 = k j=k=1

sum k (n + l) (n +k + 1) l = k l=0

Nun notieren wir uns das Pascalsche Dreieck:

|----------------------------------(--)------------------------------------| | 0 | | ( ) 0 ( ) | | 1 1 | | ( ) 0 ( ) 1 ( ) | | 2 2 2 | | ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) | | 3 3 3 3 | | ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) | | 4 4 4 4 4 | | ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) | | 5 5 5 5 5 5 | |( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) | | 6 6 6 6 6 6 6 | | 0 1 2 3 4 5 6 | ---------------------------------------------------------------------------

\text{[math]}

( ) ( ) a ,a (- R, a := 1, 0! = 1 k 0

Es gilt, wie wir zeigen sollten:

|----------------------| |n+k sum - 1( j ) (n + k) | | = | -j=k--1-k---1-------k----

Für $k- 1 = 2$ , $n = 3$ folgt durch Einsetzen:

sum 5 ( ) ( ) j = 6 j=2 2 3

Weiterhin gilt:

|------------------------| | sum k ( ) ( ) | | n+ l = n +k + 1 | -l=0---l----------k------|

Auch hier folgt für $n = 2$ , $k = 4$ durch Einsetzen:

sum 4 (2+ l) (7) l = 4 l=0

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