4.2 Skalarprodukt zweier Vektoren <img src="cmsy10-32.gif" alt=" (- " class="10x-x-32" /> <img src="msbm10-52.gif" alt="R" class="10x-x-52" />3 (Lnge/Winkel zwischen Vektoren)

Wähle kartesisches Koordinatensystem:

( ) ( ) q1 j1 x = q2 ,y = j2 q3 j3

Die Länge von $----> OP$ (von $x$ ) - man bezeichnet diese auch als Norm von $x$ - ist folgendermaßen definiert:

V~ ---------- ||x||= q21 +q22 + q23

Außerdem besitzt sie folgende Eigenschaften:

Es sei $x = (qj)$ und $y = (jj)$ . Dann definiert man das Skalarprodukt (inneres Produkt) zwischen $x$ und $y$ folgendermaßen:

sum 3 x .y := qjjj = q1j1 + q2j2 +q3j3 j=1

Man findet in Büchern verschiedene Bezeichnungen für das Skalarprodukt: $<x,y>$ , $[x,y]$ , $(x,y)$ . Dieses besitzt nun folgende Eigenschaften:

Die Länge der Strecke $P Q$ berechnet sich durch:

( ) q1- j1 x- y = q2- j2 q3- j3

-3--------- ||x- y|| = V~ sum (q - j )2 j=1 j j

Das Skalarprodukt $x .y$ läßt sich geometrisch interpretieren. Dazu betrachten wir ein Parallelogramm mit den Seiten $x$ und $y$ .

||x + y||2 = (x+ y)(x+ y) = ||x||2 +||y||2 + 2x.y

||x + y||2 = (x- y)(x+ y) = ||x||2 +||y||2 - 2x.y

||x + y||2- ||x- y||2 = 4x.y --> x.y <--> x _L y

x y e = ||x||,e'= ||y||

0 = (e'- ce).e = e'.e- ce .e

cos f = c = e.e'

-x-.y- ||x||||y|| = cosf x.x = ||x||||y||cosf

r x .y cosf = --- ==> r = ||y||cosf = ---- ||y|| ||x||

Hat $x$ die Länge 1, so gibt $x .y$ die Länge der orthogonalen Projektion von $y$ auf $x$ an.

( ) ( ) q1 j1 sum 3 x = q2 ,y = j2 : x .y = qjjj = ||x||||y||cosf q3 j3 j=1

$V$ sei Vektorraum:

0 ist linear abhängig: $c0 = 0$ z.B. für $c = 1$
$x 1$ , $x 2$ , $...$ , $x k$ seien linear unabhängig. Dann ist $x 1$ , $x 2$ , $...$ , $x l$ $(l < k- 1)$ linear unabhängig. $cx1 + cx2 + ...+clxl + 0xl + ...+ 0xk = 0 --> c1,...,cl = 0$
$x1$ , $...$ , $xk (- V$ : $x1$ , $...$ , $xl$ seien linear abhängig $(l < k - 1)$ $-->$ $x1$ , $...$ , $xs$ sind linear abhängig $(l < k)$
Begründung: Widerspruchsbeweis und 2.)
$x1$ , $...$ , $xk (- V$ mit $x1 = 0$ $-->$ $x1$ , $...$ , $xk$ sind linear abhängig.
3 Vektoren $a$ , $b$ , $c (- R3$ , die in einer Ebene liegen, sind linear abhängig.

Es seien $b$ , $c$ linear abhängig.

==> x(s,t) = x0 + sb+ tc

==> x(s,t) --xo= sb+ tc a

a = s0b+ t0c

Höhen in einem Dreieck:
Die drei Höhen in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt. Zu zeigen ist $h$ $_L$ $a- b$ . $h$ kann folgendermaßen dargestellt werden:
$h = a + cb _L = b + ga _L$
Damit ergibt sich durch Multiplikation mit $a$ bzw. $b$ :
$} h.a = a.b h.b = a .b h.(a- b) = 0$
Hesseform:
Wir wollen die Hesse-Normalform für Gerade $g$ (im $R2)$ und Ebene $E$ (im $R3)$ herleiten.
- Gerade $g$ :
  Wähle $n$ $_L$ $m$ . Daraus folgt $x .n = a.n$ für jeden Ortsvektor von $g$ . $x .n = a$ ist die Hesse-Normalform für $g$ (Geradengleichung), falls $||n|| = 1$ und $n$ von 0 zu $g$ gerichtet ist.
- Ebene $E$ :
  Wähle $n$ $_L$ $u$ und $v$ . Dann ist $x .n = a .n = a$ Hesse-Normalform der Ebene.

$g(E)$ seien in Hesse-Normalform $x.n = a$ gegeben. Betrachte für $y (- R3$ die Funktion $d(y) := y.n -a$ $(d : R3 '--> R$ . Dann gelten:

$d(y) = 0$ $<-->$ $y$ ist der Ortsvektor eines Punktes auf $g(E)$ .
Liegen $y$ und $o$ auf ${ verschiedenen } gleichen$ Seiten von $g(E)$ , so gibt ${ d(y) } -d(y)$ den Abstand von $y$ zu $g(E)$ an.